Bài 107236

Question

Cho hình lập phương

$ABCD.A'B'C'D'$ cạnh

$a$
a) Chứng minh

$A'C\bot (AB'D')$ . Tính

$d((AB'D'),(C'BD))$
b) Tính

$cosin$ góc

$\varphi$ giữa

$((DA'C), (ABB'A'))$
c) Gọi

$M,N$ là trung điểm của cạnh

$AD, CD$ và

$P$ là một điểm trên cạnh

$BB'$ thỏa

$BP=3PB'$ . Tính thể tích tiết diện do

$(MNP)$ cắt hình lập phương
d) Tính tỉ số thể tích hai phần hình lập phương do thiết diện chia ra

Machiavelli · Answer 1 · 7/14/2012 10:13:03 AM

Chọn hệ trục tọa độ

$Axyz$ sao cho:

$A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), C(a;a;0), D'(0;a;a), c'(a;a;a)$

$\Rightarrow M(0;\frac{a}{2};0 ), N(\frac{a}{2};a;0 ), P(a;0;\frac{3a}{4} )$

a) Ta có:

$\overrightarrow{AC}=a(1;1;-1) , \overrightarrow{AB}=a(1;0;1), \overrightarrow{AD'}=a(0;1;1) \Rightarrow [\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AD'} ] =a^2(-1;-1;1)$

$[\overrightarrow{A'C}, \overrightarrow{n}_{(AB'D')} ]=[(a;a;-a),(-1;-1;1)]=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A'C}// \overrightarrow{n}_{(AB'C')} \Rightarrow A'C\bot (AB'C')$
Ta có:

$\overrightarrow{n}_1=\overrightarrow{n}_{(AB'D')}=(1;1;-1)$

$[\overrightarrow{BC'}, \overrightarrow{BD} ]=[(0;a;a),(-a;a;0)]=a^2(1;1;-1)$

$\overrightarrow{n}_2=\overrightarrow{n}_{(C'BD)}=(1;1;-1)$
Do

$\overrightarrow{n}_1=\overrightarrow{n}_2 \Rightarrow (AB'D')//(C'BD)\Rightarrow d((AB'D'),(C'BD))=d(A,(C'BD))$
Phương trình

$(C'BD):(x-a)+y-z=0\Leftrightarrow x+y-z-a=0$

$\Rightarrow d(A,(C'BD))=\frac{a}{\sqrt{3} }$

b) Ta có:

$[\overrightarrow{DA'},\overrightarrow{DC'} ]=[(0;-a;a),(a;0;a)]=-a^2(1;-1;-1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}_{(DA'C')}=(1;-1;-1); \overrightarrow{n}_{(ABB'A')}=(0;1;1)$

$\Rightarrow cos\varphi=\frac{|(1;-1;-1)(0;1;0)|}{\sqrt{3} }=\frac{\sqrt{3} }{3}$

c) Gọi

$E, F$ là giao điểm của

$(MNp)$ và

$CC', AA'$

$\Rightarrow$ Thiết diện là ngũ giác

$MNEPF$ .
Ta có:

$\overrightarrow{MN}=\frac{a}{2}(1;1;0), \overrightarrow{MP}=\frac{a}{4}=(4;-2;3)$

$\overrightarrow{n}_{(MNP)}=[(1;1;0),(4;-2;3)]=3(1;-1;-2)$
Phương trình

$(MNP):x-(y-\frac{a}{2} )-2z=0\Leftrightarrow 2x-2y-4z+a=0$

$E\in CC'\Rightarrow E(a;a;z_E); F\in AA'\Rightarrow F(0;0;z_F)$

$E,F\in (MNP)\Rightarrow z_E=\frac{a}{4}, z_F =\frac{a}{4}\Rightarrow E(a;a;\frac{a}{4} ) , F(0;0;\frac{a}{4} )$

$S_{MNEPF}=S_{\Delta MFP}+S_{\Delta MPE}+S_{\Delta MEN}$

$=\frac{1}{2}(|[\overrightarrow{MF}, \overrightarrow{MP} ]|+|[\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{ME} ]|+|[\overrightarrow{ME}, \overrightarrow{MN} ]|)$

$\begin{array}{l} {\rm{[}}\overrightarrow {MF} {\rm{,}}\overrightarrow {MN} {\rm{] = }}\left[ {\left( {0; - \frac{a}{2};\frac{a}{4}} \right),\left( {a; - \frac{a}{2};\frac{{3a}}{4}} \right)} \right] = \left( { - \frac{{{a^2}}}{4};\frac{{{a^2}}}{4};\frac{{{a^2}}}{2}} \right)\\ {\rm{[}}\overrightarrow {MP} {\rm{,}}\overrightarrow {ME} {\rm{] = }}\left[ {\left( {a; - \frac{a}{2};\frac{{3a}}{4}} \right),\left( {a;\frac{a}{2};\frac{a}{4}} \right)} \right] = \left( { - \frac{{{a^2}}}{2};\frac{{{a^2}}}{2};{a^2}} \right)\\ {\rm{[}}\overrightarrow {ME} {\rm{,}}\overrightarrow {MN} {\rm{] = }}\left[ {\left( {a;\frac{a}{2};\frac{a}{4}} \right),\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)} \right] = \left( { - \frac{{{a^2}}}{8};\frac{{{a^2}}}{8};\frac{{{a^2}}}{4}} \right)\\ {S_{MNEPF}} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2} + \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{8}} \right] = \frac{{7{a^2}\sqrt 6 }}{{16}} \end{array}$

d) Gọi

$V_1=V_{ABFMNCE}, V_2$ là phần còn lại

$I=BC\cap MN, J=AB\cap MN$
Dễ thấy

$IB=\frac{3a}{2}, BJ=\frac{3a}{2}$ . Ta có:

$\begin{array}{l} {V_1} = {V_{P.BJ}} - ({V_{ICNE}} + {V_{J.{\rm{AMF}}}}) = \frac{1}{6}BP.BI.BJ - \frac{1}{6}(IC.CN.CE + {\rm{A}}J.AM.{\rm{A}}F)\\ = \frac{1}{6}.\frac{{3a}}{4}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{3a}}{2} - \frac{1}{6}\left( {\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{4} + \frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{4}} \right) = \frac{{25{a^3}}}{{96}}\\ {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {a^3} \Rightarrow {V_2} = {a^3} - \frac{{25{a^3}}}{{96}} = \frac{{71{a^3}}}{{96}}\\ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{25}}{{71}} \end{array}$

Bài 107236

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107236

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan