|
|
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng
ĐỊNH NGHĨA 1
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $(P)$ (hoặc đến đường thẳng $\Delta $) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng $(P)$(hoặc trên đường thẳng $\Delta $).
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $(P)$ được kí hiệu là $d\left( {M;\left( P \right)} \right)$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta $ được kí hiệu là $d\left( {M;\Delta } \right)$
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
ĐỊNH NGHĨA 2
Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm nào đó của $a$ đến mặt phẳng $(P)$.
Kí hiệu khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ song song với nó là $d\left( {a;\left( P \right)} \right)$
ĐỊNH NGHĨA 3
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài toán
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tìm đường thẳng c cắt cả a và b đồng thời vuông góc với a và b.
Giải
Do a và b chéo nhau nên có duy nhất mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng a.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua a và vuông góc với $(Q)$ cắt đường thẳng b tại điểm J. Gọi c là đường thẳng đi qua J và vuông góc với $(Q)$ thì c nằm trong mp $(P)$, do đó c cắt a tại điểm I. Khi ấy c là đường thẳng phải tìm và là đường thẳng duy nhất thỏa mãn tính chất trên.
Thuật ngữ
Đường thẳng c nói trên gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn thẳng IJ gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó
ĐỊNH NGHĨA 4
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Nhận xét:
1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại
2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
4. Một số ví dụ
Ví dụ 2
Cho hình chóp$S.ABCD$có đáy là hình vuông cạnh a, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$và $SA = a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a, SB và AD
b, BD và SC
Giải
a, Ta có $AD \bot \left( {SBA} \right)$, kẻ AH vuông góc với SB thì AH là đường vuông góc chung vủa SB và AD. Vậy
$d\left( {AD;SB} \right) = AH$
Vì AH là đường cao của tam giác vuông cân SAB nên
$AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Từ đó $d\left( {AD;SB} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
b, Ta có BD vuông góc với mp$\left( {SAC} \right)$tại tâm O của hình vuông ABCD. Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, kẻ OK vuông góc với SC thì OK là đường vuông góc chung của BD và SC. Dễ thấy $d\left( {BD;SC} \right) = OK = \frac{1}{2}AI$(AI là đường cao của tam giác vuông SAC). Ta có
$\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}}$
Nên $AI = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$, từ đó $d\left( {BD;SC} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$
|