Kí hiệu: csc: cấp số cộng
csn: cấp số nhân.
a) Đổi theo $u_{1} $ và q, ta có hệ phương trình
$\begin{cases} u_{1} \left( 1- q^{2}+q^{4} \right) =-65 \\ u_{1} \left( 1+q^{6} \right) =-325 \end{cases} \Rightarrow \frac{ 1-q^{2}+q^{4}}{ \left( 1+q^{2} \right) \left(1-q^{2}+q^{4} \right) }= \frac{ 1}{5}$
$\Leftrightarrow 1+q^2=5$
$\Leftrightarrow q^2=4$
$\Rightarrow q= \pm 2\Rightarrow u_{1} =-5$
ĐS: $CSN: -5; -10;-20;…$ và
$-5; 10; -20….$ thỏa mãn đề bài.
b) $\left( u_{1}+u_{2}+u_{3} \right)^{2} =35^{2}$
$\Leftrightarrow u_{1} ^{2}+ u_{2} ^{2} + u_{3} ^{2}+ 2 \left(u_{1} u_{2} + u_{2} u_{3} + u_{3} u_{1} \right) =35^{2}$
$\Leftrightarrow u_{1} u_{2} + u_{2} u_{3} + u_{3} u_{1} =350$
Theo tính chất của CSN:$ u_{1} u_{3} = u_{2} ^{2}$
nên $ u_{2} \left( u_{1} + u_{2}+ u_{3} \right)=350 \Rightarrow u_{2} =10$:
Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}u_{1} + u_{3} =25 \\ u_{1} u_{3} =100 \end{cases} $
$\Rightarrow u_1(25-u_1)=100$
$\Rightarrow (u_1-5)(u_1-20)=0\Rightarrow u_1\in \left\{ {5;20.} \right\}$
Vậy có 2 cơ số thỏa mãn: CSN $5;10;20... $ và $20;10;5...$
c) Do $u_{1} u_{3} = u_{2} ^{2}$ nên $ u_{2} ^{3}=27 \Rightarrow u_{2} =3$ . Ta có hệ:
$\begin{cases} u_{1} + u_{3} =S_3-u_3=10 \\ u_{1} u_{3} =9 \end{cases} $
$\Rightarrow u_1(10-u_1)=9$
$\Leftrightarrow (u_1-1)(u_1-9)=0\Leftrightarrow u_1\in\left\{ {1;9} \right\}$
Vậy có 2 cấp số thỏa mãn: $CSN: 1; 3 ;9....$ và $9;3;1...$