1. Định nghĩa:
ĐN: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số $q$ không đổi, nghĩa là: $(u_n)$ là cấp số nhân $ \Leftrightarrow \forall n \geqslant 2,{u_n} = {u_{n - 1}}.q$
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
Ví dụ 1: Dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2^n$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 2$và công bội $q = 2$.
2. Tính chất
Định lí 1: Nếu $({u_n})$ là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương cua rmỗi số hạng(trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
$u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}$
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân $({u_n})$với công bội $q > 0$. Biết ${u_1} = 1,{u_3} = 3$, hãy tìm ${u_4}$.
Giải:
Theo định lí 1, ta có
$u_2^2 = {u_1}.{u_3}$
$u_3^2 = {u_2}.{u_4}$
Từ (1), do ${u_2} > 0$( Vì ${u_1} = 1 > 0$ và $q > 0$), suy ra ${u_2} = \sqrt {{u_1}.{u_3}} $. Từ đây và (2) ta được
${u_4} = \frac{{u_3^2}}{{\sqrt {{u_1}.{u_3}} }} = \frac{3^2}{{\sqrt {1.3} }} = 3\sqrt 3 $
3. Số hạng tổng quát
Định lí 2: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q \ne 0$ thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định bởi công thức
${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$
4. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
Giả sử có cấp số nhân $({u_n})$ với công bội $q$. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi ${S_n}$ là tổng n số hạng đầu tiên của nó $({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n})$
Nếu $q = 1$thì ${u_n} = {u_1}$ với mọi $n \geqslant 1$. Do đó, trong trường hợp này ta có
${S_n} = n{u_1}$
Khi $q \ne 1$ ta có kết quả sau:
Định lý 3: Nếu $({u_n})$ là một cấp số nhân với công bội $q \ne 1$ thì ${S_n}$ được tính theo công thức
${S_n} = \frac{{{u_1}(1 - q^{n)}}}{{1 - q}}$
Ví dụ 5: Cho cấp số nhân $({u_n})$ có ${u_3} = 24$và ${u_4} = 48$. Hãy tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số đó.
Giải: Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $({u_n})$, ta có: $q = \frac{{48}}{{24}} = 2$
Do đó, theo định lí 2, ta được : $24 = {u_3} = {u_1}{.2^2}$. Suy ra ${u_1} = 6$. Vì thế, theo định lí 3, ta được : ${S_5} = \frac{{6.(1 - 2^5)}}{1 - 2} = 186$
|