CẦN:• Ta có
$\div a,b,c \Leftrightarrow a+c=2b $
$\Leftrightarrow 2R\sin A + 2R\sin C = 2.2R \sin B$
$\Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2 \sin B$
$\Leftrightarrow 2 \sin \frac{ A+C}{2} \cos \frac{ A-C}{2}=4 \sin \frac{ B}{2} \cos \frac{ B}{2} = 4 \sin \frac{ A+C}{2} \cos \frac{ A+C}{2}$
$\Leftrightarrow \cos \frac{ A-C}{2}=2 \cos \frac{ A+C}{2} (\frac{ A+C}{2} \neq 0, \frac{ A+C}{2} \neq \pi)$
$\Leftrightarrow \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}+ \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}= 2 \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}- 2 \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}$
$\Leftrightarrow 3 \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}= \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}$
$\Leftrightarrow 3 \tan \frac{ A}{2} \tan \frac{ C}{2} =1$
$\Leftrightarrow \tan \frac{ A}{2} \tan \frac{ C}{2}= \frac{ 1}{3}.$
ĐỦ:• Ta có
$\tan\frac{A}{2}\tan\frac{C}{2}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow 3 \tan \frac{ A}{2} \tan \frac{ C}{2} =1$
$\Leftrightarrow 3 \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}= \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}$
$\Leftrightarrow \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}+ \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}= 2 \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}- 2 \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}$
$\Leftrightarrow \cos \frac{ A-C}{2}=2 \cos \frac{ A+C}{2} (\frac{ A+C}{2} \neq 0, \frac{ A+C}{2} \neq \pi)$
$\Leftrightarrow 2 \sin \frac{ A+C}{2} \cos \frac{ A-C}{2}=4 \sin \frac{ B}{2} \cos \frac{ B}{2} = 4 \sin \frac{ A+C}{2} \cos \frac{ A+C}{2}$
$\Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2 \sin B$
$\Leftrightarrow 2R\sin A + 2R\sin C = 2.2R \sin B$
$\Leftrightarrow a+c=2b $.
Vậy ta có đpcm.