a.Vì $M\in Ox$ nên giả sử $M(x;0)$,khi đó:
$A,B,M$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}(-3;6) // \overrightarrow {AM}((x-2;2)$
$\Leftrightarrow \frac{-3}{x-2}=\frac{6}{2} \Leftrightarrow x-2=-1 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow M(1;0)$
b.Vì $N\in Oy$ nên giả sử $N(0;y)$,khi đó:
$A,B,N$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}(-3;6) // \overrightarrow {AN}((-2;y+2)$
$\Leftrightarrow \frac{-3}{-2}=\frac{6}{y+2} \Leftrightarrow y+2=4 \Leftrightarrow y=2 \Rightarrow N(0;2)$
c.Nhận xét:
$AB^{2}=(-3)^{2}+6^{2}=45 \Leftrightarrow AB=3\sqrt{5}$
Suy ra $AB=2AE$ và vì $E$ nằm trong đoạn $AB$ nên $E$ là trung điểm của $AB$.
Do đó,ta có ngay $E(\frac{1}{2};1)$
d.Nhận xét:
$AB=3\sqrt{5}>BF$
Do đó,để $F$ thỏa mãn điều kiện đầu bài là:
$\frac{\overrightarrow {BF}}{\overrightarrow {AB}}=\frac{BF}{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow {BF}=\frac{BF}{AB}.\overrightarrow {AB}$
$\Leftrightarrow (x+1;y-4)=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{9+36}}(-3;6)=(-\frac{3}{2} ;3)$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x+1=-\frac{3}{2} \\ y-4=3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-\frac{5}{2} \\ y=7\end{cases} $
$\Rightarrow F(-\frac{5}{2};7)$
Vậy ta được $F(-\frac{5}{2};7)$
e.Nhận xét:
$AB=3\sqrt{5}>AP$
Do đó,để $P(x;y)$ thỏa mãn điều kiện đầu bài là:
$\begin{cases} \overrightarrow {AB}(-3;6)// \overrightarrow {AP}(x-2;y+2)\\ AP=4\sqrt{5}\end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{-3}{x-2}=\frac{6}{y+2} \\ \sqrt{(x-2)^{2}+(y+2)^{2}}=4\sqrt{5}\end{cases} $
$\begin{cases} y=2-2x \\ (x-2)^{2}+(2-2x+2)^{2}=80 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=2-2x \\ x^{2}-4x-12=0\end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} y=2-2x \\ \left[ \begin{array}{l} x=-2 \\ x=6 \end{array} \right. \end{cases} $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} P_{1}(-2;6)\\ P_{2}(6;10) \end{array} \right. $
Vậy tồn tại hai điểm $P_{1}(-2;6)$ và $P_{2}(6;10) $ thỏa mãn điều kiện.