$a.$ $A$ là giao điểm của hai cạnh $AB, AC$ nên tọa độ của đỉnh $A$ là nghiệm của hệ phương trình :$\begin{cases}4x+y+15=0 \\ 2x+5y+3=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_A=-4 \\ y_A=1 \end{cases} $
Vậy tọa độ của đỉnh $A$ là $A(-4;1)$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác, $M$ là trung điểm cạnh $BC$ nên $\overrightarrow {AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} $
$\Rightarrow \begin{cases}x_M-x_A=\frac{3}{2}(x_G-x_A) \\ y_M-y_A=\frac{3}{2}(y_G-y_A) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_M=\frac{3}{2}x_G-\frac{1}{2}x_A=-3+2=-1 \\ y_M=\frac{3}{2}y_G-\frac{1}{2} y_A=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2 \end{cases} $
Vậy tọa độ của $M$ trung điểm cạnh $BC$ là $M(-1;-2)$
$b.$ Gọi $N$ là trung điểm cạnh $AC$ thì $MN//AC$nên phương trình $MN$ có dạng : $2x+5y+C=0$
Điểm $M$ thuộc đường $MN\Rightarrow -2-10+C=0\Rightarrow C=12$
Phương trình của đường thẳng $MN$ là $2x+5y+12=0$
Tọa độ của $N$ là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases}2x+5y+12=0 \\ 4x+y+15=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_N=-\frac{7}{2} \\ y_N=-1 \end{cases} \Rightarrow N(-\frac{7}{2};-1 )$
Ta có: $\overrightarrow {AB} =2\overrightarrow {AN} $
$\begin{cases}x_B-x_A=2(x_n-x_A) \\ y_B-y_A=2(y_N-y_A) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_B=2x_N-x_A \\ y_B=2y_N-y_A \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_B=-7+4=-3 \\ y_B=-2-1=-3 \end{cases} $
Vậy $B(-3;-3)$
$B(-3;-3)$ và $M(-1;-2)$ nên $BM$ có véctơ chỉ phương $(2;1)$
Đường thẳng $BC$ qua $B(-3;-3)$ có phương trình là :
$\frac{x+3}{2} =\frac{y+3}{1} \Leftrightarrow x-2y-3=0$