Bài 106557

Question

Các góc của tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức: $sin^2A + sin ^2B = \sqrt[9]{\sin C}$. Biết rằng các góc $A$ và $B$ nhọn. Hãy tính giá trị của góc $C.$

thang2379 · Answer 1 · 6/26/2012 9:35:56 AM

Do $0 < \sin C \le 1 \Rightarrow \sqrt[9]{{\sin C}} \ge {\sin ^2}C$
Từ giả thiết $ \Rightarrow {\sin ^2}A + {\sin ^2}B \ge {\sin ^2}C \Leftrightarrow (\frac{a}{2R})^2+(\frac{b}{2R})^2\geq(\frac{c}{2R})^2\Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}$
$ \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C \Rightarrow \cos C \ge 0 (a)$
Mặt khác, dễ chứng minh được rằng ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2 + 2\cos A\cos B\cos
C,\,\forall \Delta(1) $ nên giả thiết suy ra:
$\sqrt[9]{{\sin C}} + {\sin ^2}C = 2 + 2\cos A\cos B\cos C,\,VT \le 2$
$ \Rightarrow 2 + 2\cos A\cos B\cos C \le 2 \Rightarrow \cos A\cos B\cos C \le 0$
Mà $A, B$ nhọn (giả thiết) $ \Rightarrow \cos A\cos B > 0 \Rightarrow \cos C \le 0\,\,(b)$
Từ ($a$) và ($b$) suy ra: $cosC = 0$. Suy ra $\widehat C = {90^0}$
(Chứng minh (1):

$VT=\frac{3-(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C)}{2}=\frac{3-[2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^2C-1]}{2}$$=2+[\cos C\cos(A-B)-\cos^2C]$

$=2+\cos C[\cos (A-B)+\cos(A+B)]=2+2\cos A\cos B\cos C$)