HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1.ĐỊNH LÍ CỐSIN TRONG TAM GIÁC
ĐỊNH LÍ
Trong tam giác ABC ,với BC = a, CA = b, AB = c, ta có

$\begin{gathered} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,\cos A; \\ {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\,\cos B; \\ {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\,\cos C; \\ \end{gathered}$
HỆ QUẢ

$\begin{gathered} \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \\ \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} \\ \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \\ \end{gathered}$
Ví dụ
Các cạnh của tam giác ABC là a = 7, b = 24, c = 23. Tính góc A.
Giải
Theo hệ quả của định lí côsin ta có

$\begin{gathered} \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{{24}^2} + {{23}^2} - {7^2}}}{{2.24.23}} = 0,9565 \\ \end{gathered}$
Từ đó ta được

$\angle A \approx {16^0}58'$
2. Định lí sin trong tam giác
Với mọi tam giác ABC ta có

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$
Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5, c = 6. Chứng minh rằng

$\sin A - 2\sin B + \sin C = 0$
Giải
Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Từ định lý sin, ta có

$\sin A = \frac{a}{{2R}},\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}},\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}$
Vậy

$\sin A - 2\sin B + \sin C = \frac{1}{{2R}}(a - 2b + c) = \frac{1}{{2R}}(4 - 10 + 6) = 0$
3.Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác
Cho tam giác ABC. Gọi

${m_a},{m_b},{m_c}$ là độ dài các đường trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh

$BC = a,CA = b,AC = c$ . Ta có các công thức sau là công thức trung tuyến:

${m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4};{m_b}^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4};{m_c}^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}$
4.Diện tích tam giác
Với tam giác ABC, ta kí hiệu

${h_a},\,\,{h_b},\,{h_c}\,$ là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác;

$p = \frac{{a + b + c}}{2}$ là nửa chu vi tam giác.
Ta có thể tính diện tích S của tam giác ABC bằng các công thức sau đây:

$\begin{gathered} S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ S = \frac{{abc}}{{4R}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \\ S = pr\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \\ S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5) \\ \end{gathered}$
Công thức (5) gọi là công thức Hê- rông
5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Giải tam giác là tính cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.
Ví dụ
Cho tam giác ABC . biết a = 17,4;

$\angle B = {44^0}30';\,\angle C = {64^0}$ . Tính góc A và các cạnh b, c của tam giác đó.
Giải:
Ta có

$\begin{gathered} \angle A = {180^0} - (\angle B + \,\angle C) \\ \,\,\,\,\, = {180^0} - ({44^0}30' + {64^0}) = {71^0}30' \\ \end{gathered}$
Theo định lí sin ta có