Bài 105698

Question

Cho hàm số:

$y=\frac{(m+1)x^2-2mx-(m^3-m^2-2)}{x-m}$
Với

$m$ là tham số khác

$-1$ .
1) Với các giá trị nào của

$m$ thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng

$(0;2)$ ?
2) Xác định tiệm cận xiên của đồ thị. Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
3) Tìm

$m$ để tâm đối xứng nằm trên parabol

$y = {x^2} + 1$ . Khảo sát và vẽ đồ thị ứng với giá trị

$m$ tìm được.
4) Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó ta có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số ở phần 3

quang_phong · Answer 1 · 7/15/2012 3:27:01 PM

$1)$ Viết lại biểu thức hàm số dưới dạng:

$y = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m + \frac{2}{{x - m}}$
Từ đó ta có:

$y' = \left( {m + 1} \right) - \frac{2}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \left( {m + 1} \right)\frac{{{{\left( {x - m} \right)}^2} - 2/\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$ (do

$m + 1 \ne 0$ ).
Do đó để hàm số có cực đại, cực tiểu thì

$2/\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ .
Để hoành độ điểm cực đại, cực tiểu thuộc khoảng

$(0, 2)$ cần có (đặt

$f\left( x \right) = {\left( {x - m} \right)^2} - 2/\left( {m + 1} \right)$ )

$\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) > 0\\ f\left( 2 \right) > 0\\ 0 < S/2 < 2 \end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 2/\left( {m + 1} \right) > 0\\ {\left( {2 - m} \right)^2} - 2/\left( {m + 1} \right) > 0\\ 0 < m < 2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + 2m + 2} \right)/\left( {m + 1} \right) > 0\\ \left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} - 2m - 2} \right)/\left( {m + 1} \right) > 0\\ 0 < m < 2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < - 1,m > 1\\ m < - 1,1 - \sqrt 3 < m < 1,m > 1 + \sqrt 3 \\ 0 < m < 2 \end{array} \right.{\rm{ }}$ : hệ này vô nghiệm.
Vậy không tòn tại m thỏa mãn đầu bài.

$2)$ Vì

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{2}{{x - m}} = 0$ nên

$y = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Giả sử parabol

$y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ cố định luôn tiếp xúc với tiệm cận xiên. Khi đó hệ sau luôn có nghiệm với mọi m:

$\left\{ \begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m{\rm{ (1)}}\\ 2ax + b = m + 1{\rm{ (2)}} \end{array} \right.$
Nhân

$(2)$ với

$x$ , thế vào

$(1)$ ta có:

$c = a{x^2} + {m^2} - m$

$(3)$
Từ

$(2)$ ta có

$x = \left( {m + 1 - b} \right)/2a$ , rồi thế vào

$(3)$ ta có:

$c = a{\left( {\frac{{m + 1 - b}}{{2a}}} \right)^2} + {m^2} - m$

$\Leftrightarrow \left( {1 + 4a} \right){m^2} + 2\left( {1 - b - 2a} \right)m + \left( {1 - 2b + {b^2} - 4ac} \right) = 0$

$(4)$

$(4)$ đúng với mọi

$m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + 4a = 0\\ 1 - b - 2a = 0\\ 1 - 2b + {b^2} - 4ac = 0 \end{array} \right.$
Giải ra ta có:

$a = - 1/4,b = 3/2,c = - 1/4.$
Vậy parabol phải tìm là

$y = \left( { - 1/4} \right){x^2} + \left( {3/2} \right)x - 1/4$ .

$3)$ *Đồ thị hàm số có tiệm cần đứng

$x = m$ , tiệm cận xiên

$y = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m$ .
Dễ nhận thấy rằng tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do đó tâm đối xứng có tọa độ

$\left( {m,2{m^2}} \right)$ .
Tâm đối xứng nằm trên parabol

$y = {x^2} + 1$ khi và chỉ khi

$2{m^2} = {m^2} + 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1$ . Lại do

$m \ne 1$ nên

$m = 1$ là giá trị cần tìm.
* Vẽ đồ thị khi

$m = 1$ dành cho bạn đọc.

$4)$ Giả sử các điểm cần tìm có dạng

$\left( {{x_0},0} \right)$ , tiếp tuyến với đồ thị hàm số ở phần 3 đi qua điểm

$\left( {{x_0},0} \right)$ có dạng

$y = k\left( {x - {x_0}} \right)$ . Gọi hoành độ tiếp điểm

${x_1}$ . Khi đó

$k = y'\left( {{x_1}} \right) = 2 - \frac{2}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}$ . Bài toán dẫn đến tìm

${x_0}$ để phương trình:

$2{x_1} - \frac{2}{{{x_1} - 1}} = k\left( {{x_1} - {x_0}} \right)$

$(1)$
Có nghiệm

${x_1}$ duy nhất

$\ne 1$ .

$(1)$

$\Leftrightarrow 2{x_1} - \frac{2}{{{x_1} - 1}} = \left[ {2 - \frac{2}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {{x_1} - {x_0}} \right)$

${x_0}x_1^2 + 2\left( {1 - {x_0}} \right){x_1} - 1 = 0$

$(2)$

a)

${x_0} = 0$ ta có

$2{x_1} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1/2$ là nghiệm duy nhất của

$(2)$ .

b)

${x_1} = 1$ là nghiệm của (2), gọi nghiệm kia là

${x_2}$ ta có (theo định lý Viet)

$1.{x_2} = - {x_0},1 + {x_2} = \frac{{{x_0} - 1}}{{{x_0}}} \Rightarrow 1 - {x_0} = \frac{{{x_0} - 1}}{{{x_0}}} \Rightarrow {x_0} = 1$ , do đó

${x_2} = - 1$ là một nghiệm duy nhất của (2).

c)

${x_0} \ne 0,{x_0} \ne 1$ ta có

$\Delta ' = {\left( {1 - {x_0}} \right)^2} + {x_0} = x_0^2 - {x_0} + 1 > 0 \Rightarrow (2)$ có nghiệm không duy nhất.
Vậy các điểm cần tìm là :

$(0, 0), (1, 0)$

Bài 105698

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105698

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan