Bài 105115

$m \neq 0:$điều kiện: $\begin{cases}  x \geq -m \\ x \geq -2m  \\  x \geq  -3m   \end{cases}$

Trường hợp $m>0:$ điều kiện chung: $x \geq -m$

$\sqrt{ x+m} - \sqrt{ x+2m}> \sqrt{ x+3m}$

$\Leftrightarrow \sqrt{ x+m}> \sqrt{ x+2m}+ \sqrt{ x+3m}$

$\Leftrightarrow x+m> x+2m+x+3m+2 \sqrt{ x^{2} +5mx+6 m^{2} }$

$\Leftrightarrow –x-4m> 2 \sqrt{ x^{2} +5mx+6 m^{2} }(*)$

Thêm điều kiện: $x< -4m$

Giao với điều kiện: $x \geq -m$: bất phương trình vô nghiệm.

Trường hợp $m<0:$ Điều kiện chung: $x \geq -3m$

Từ $(*)$ Điều kiện: $-3m \leq x \leq -4m$
$\Leftrightarrow x^{2} +8mx+16m^{2}> 4 \left(x^{2} +5mx +6m^{2}    \right)$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} +12mx + m^{2} <0$

Vế trái có $\Delta ‘= 36 m^{2} -24 m^{2} =12 m^{2} >0 \forall m \in [-3m; -4m).$

Hai nghiệm của vế trái :

$x_{1} = \frac{ -6m+ 2 \sqrt{ 3}m}{3}; x_{2} = \frac{ -6m -2 \sqrt{ 3}m}{3}, x_{1} < x_{2}$

Đặt $f(x)= 3 x^{2} +12mx+8 m^{2}$

$\Rightarrow x_{1} < -3m < x_{2} < -4m$

$\Rightarrow$ nghiệm của bất phương trình : $-3m \leq x < \frac{ -6m- 2 \sqrt{ 3}m}{3}.$