Bài 100205

Question

Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ cho

$3$ hình lập phương

$ABCD.A_1B_1C_1D_1$ với

$A(0;0;0), B(2; 0; 0), D_1(0; 2; 2)$

$a.$ Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương

$ABCD.A_1B_1C_1D_1$ . Gọi

$M$ là trung điểm của BC . Chứng minh rằng hai mặt phẳng

$( AB_1D1)$ và

$( AMB_1)$ vuông góc nhau.

$b.$ Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ điểm

$N$ thuộc đường thẳng

$AC_1 ( N ≠ A )$ tới

$2$ mặt phẳng

$( AB_1D_1)$ và

$( AMB_1)$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm

$N$ .

dhsp1987 · Answer 1 · 5/18/2012 5:15:41 PM

a. Ta có hình vẽ sau:

Ta có

$A\left( {0,0,0} \right);B\left( {2,0,0} \right);C\left( {2,2,0} \right)$ ;D(0;2;0);

${A_1}\left( {0,0,2} \right);{B_1}\left( {2,0,2} \right);{C_1}\left( {2,2,2} \right);{D_1}\left( {0,2,2} \right)$

Mp

$\left( {A{B_1}{D_1}} \right)$ có cặp VTCP là:

$\overrightarrow {A{B_1}} = \left( {2,0,2} \right)$ ;

$\overrightarrow {A{D_1}} = \left( {0,2,2} \right)$
nên mp

$\left( {A{B_1}{D_1}} \right)$ có 1 PVPT là

$\overrightarrow u = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {A{B_1}} ,\overrightarrow {A{D_1}} } \right] = \left( { - 1, - 1,1} \right)$
Ta có

$M\left( {2,1,0} \right)$ nên Mp

$\left( {AM{B_1}} \right)$ có cặp VTCP là:

$\overrightarrow {AM} = \left( {2,1,0} \right)$ ;

$\overrightarrow {A{B_1}} = \left( {2,0,2} \right)$
nên mp

$\left( {AM{B_1}} \right)$ có 1 VTPT là

$\overrightarrow v = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {1, - 2, - 1} \right)$
Ta có:

$\overrightarrow u .\overrightarrow v = - 1\left( 1 \right) - 1\left( { - 2} \right) + 1\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow v \rightarrow \left( {A{B_1}{D_1}} \right) \bot \left( {AM{B_1}} \right)$ (đpcm)
b.

${\overrightarrow {AC} _1} = \left( {2,2,2} \right)$ nên phương trình tham số

$A{C_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = t\\ z = t \end{array} \right.$ ,

$N \in A{C_1} \Rightarrow N\left( {t,t,t} \right)$

Phương trình

$\left( {A{B_1}{D_1}} \right): - \left( {x - 0} \right) - \left( {y - 0} \right) + \left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0$

$d\left( {N,(A{B_1}{D_1})} \right) = \frac{{\left| {t + t - t} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| t \right|}}{{\sqrt 3 }} = {d_1}$

Phương trình

$\left( {AM{B_1}} \right):\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - \left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - z = 0$

$\Rightarrow d\left( {N,(AM{B_1})} \right) = \frac{{\left| {t - 2t - t} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{\left| { - 2t} \right|}}{{\sqrt 6 }} = {d_2}$
\rightarrow

$\frac{{{d_1}}}{{{d_2}}} = \frac{{\frac{{\left| t \right|}}{{\sqrt 3 }}}}{{\frac{{2\left| t \right|}}{{\sqrt 6 }}}} = \frac{{\left| t \right|}}{{\sqrt 3 }}\frac{{\sqrt 6 }}{{2\left| t \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Vậy tỉ số khoảng cách từ