KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐUỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng

$\Delta :ax + by + c = 0$ . Khoảng cách từ điểm

$M({x_M};{y_M})$ đến

$\Delta$ :

$d(M;\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_M} + b{y_M} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng
Cho đường thẳng

$\Delta :ax + by + c = 0$ và điểm

$M({x_M};{y_M})$ . Nếu M’ là hình chiếu (vuông góc) của M trên

$\Delta$ , ta có

$\overrightarrow {M'M} = k\overrightarrow n$ trong đó

$k = \frac{{{\text{a}}{{\text{x}}_M} + b{y_M} + c}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Tương tự nếu có điểm

$N({x_N};{y_N})$ với N’ là hình chiếu của N trên

$\Delta$ thì ta cũng có

$\overrightarrow {N'N} = k'\overrightarrow n$ trong đó

$k = \frac{{{\text{a}}{{\text{x}}_N} + b{y_N} + c}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Ta có kết quả sau:
Cho đường thẳng

$\Delta$ : ax + bx + c = 0 và điểm

$M({x_M};{y_M})$ ,

$N({x_N};{y_N})$ không nằm trên

$\Delta$ . Khi đó
Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với

$\Delta$ khi và chỉ khi

${\text{(a}}{{\text{x}}_M} + b{y_M} + c)({\text{a}}{{\text{x}}_N} + b{y_N} + c) > 0$
Hai điểm M, N nằm khác phía đối với

$\Delta$ khi và chỉ khi

${\text{(a}}{{\text{x}}_M} + b{y_M} + c)({\text{a}}{{\text{x}}_N} + b{y_N} + c) < 0$
VÍ DỤ
Cho tam giác ABC

$A = \left( {\frac{7}{4};3} \right),\,\,B = (1;2),\,\,C = ( - 4;\,3)$
Viết phương trình đường phân giác trong của góc A
Giải : Dễ thấy các đường thẳng AB VÀ AC có phương trình
AB: 4x -3y + 2 = 0 và AC : y – 3 = 0
Các đường phân giác ngoài của góc A có phương trình

$\frac{{4x - 3y + 2}}{5} + \frac{{y - 3}}{1} = 0$ hoặc

$\frac{{4x - 3y + 2}}{5} - \frac{{y - 3}}{1} = 0$
Hay : 4x +2y -13 =0 (đường phân giác

${d_1}$ )
4x – 8y +17 =0 (đương phân giác

${d_2}$ )
Do hai điểm B, C nằm cùng phía đối với đường phân giác ngoài và nằm khác phía đối với đường phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của B , C đối với một trong hai đường , chẳng hạn

${d_2}$ . Thay toạ độ của B ,C lần lượt vào vế trái
của

${d_2}$ . Ta được
4 – 16 + 17 = 5 > 0 và -16 – 24 +17 = -23 < 0
tức là B,C nằm khác phía đối với

${d_2}$
Vậy phương trình đường phân giác trong của góc A là

${d_2}:4x - 8y + 17 = 0$
2. Góc giữa hai đường thẳng
ĐỊNH NGHĨA
Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b ,hay đơn giản là góc giữa a và b. khi a song song hoặc trùng với b , ta quy ước góc giữa chúng bằng

${0^0}$
CHÚ Ý
Góc giữa hai đường thẳng a và b được kí hiệu là

$\angle (a,b)$ hay đơn giản là ( a, b ) góc này không vượt quá

${90^ \circ }$ nên ta có