a) Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình tham số: \left\{ \begin{array}{l} x = 9 - t\\ y = 6 - 8t\\ z = 5 - 15t \end{array} \right.
b)
Cách 1: Đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1;3 ;-2) và có VTCP \overrightarrow u =\left( {1;1;2} \right)
Đường thẳng (d’) đi qua điểm M’(1 ;2 ;1) và có VTCP \overrightarrow {u'} =\left( {2;1;1} \right)
Ta có:
• \overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 1;3} \right)
• \overrightarrow {MM'} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2; - 1;3} \right)\left( {\left| {_1^1\;_1^2} \right|;\left| {_1^2\;_2^1} \right|;\left| {_2^1\;_1^1} \right|} \right) = - 8 \ne 0
Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)
Khi đó : d\left( {\left( d \right),\left( {d'} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MM'} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{8}{{\sqrt {11} }}
Cách 2: Ta thấy VTCP của (d) là
\overrightarrow u =\left( {1;1;2} \right)
VTCP của (d') là \overrightarrow {u'} =\left( {2;1;1} \right)
Giả sử tồn tại hệ số k \neq 0 sao cho
\overrightarrow u = k.
\overrightarrow {u'}
Dễ thấy k không tồn tại , vậy
\overrightarrow u & \overrightarrow {u'} không cùng phương.
Nếu giả sử (d) cắt (d'), khi đó phương trình giao điểm là
\left\{ \begin{array}{l} t-1 = 1 + 2t'\\ t+3 = 2 + t'\\ 2t-2 = 1 + t' \end{array} \right.
Dễ thấy hệ trên vô nghiệm nên (d) không cắt (d')
Vậy (d) và (d') chéo nhau .
Khoảng cách ta có thể tính như cách 1.