TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. Tổ hợp.
1. Hoán vị:
Pn=n!=1.2.3…n (với n∈N∗)
2. Chỉnh hợp:
Akn=n!(n−k)! (1≤k≤n)
Tính chất: Pn=Ann
3. Tổ hợp:
Ckn=n!k!(n−k)!
4. Tính chất:
Pn=Ann;Akn=Akn.k!
Ckn=Cn−kn
Ck−1n−1+Ckn−1=Ckn(1≤k≤n).
5. Nhị thức Niu-tơn:
(a+b)n=C0nan+C1nan−1b1+C2nan−2b2+…+Cn−1na1bn−1+Cnna0bn.
=n∑k=0Cknan−kbk(n∈N∗)
Số hạng tổng quát trong khai triển: Tk+1=Cknan−kbk(n∈N∗)
II. Xác suất.
• Xác suất của biến cố A:
P(A)=n(A)n(Ω).(0≤P(A)≤1)
Trong đó n(A) là số phần tử của biến cố A. n(Ω) là số phần tử của không gian mẫu Ω
• Tính chất xác suất:
P(∅)=0
P(Ω)=1
• Các quy tắc tính xác suất.
1. Quy tắc cộng xác suất.
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
P(A∪B)=P(A)+P(B)
Mở rộng: Cho k biến cố A1,A2,…,Ak đôi một xung khắc. Khi đó:
P(A1∪A2∪…∪Ak)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak).
P(¯A)=1−P(A) (Với ¯A là biến cố đối của biến cố A )
2. Quy tắc nhân xác suất.
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:
P(AB)=P(A)P(B)
Mở rộng: Nếu k biến cố A1,A2,…,Ak độc lập với nhau thì:
P(A1A2…Ak)=P(A1)P(A2)…P(Ak)
• Kì vọng:
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là x1,x2,…,xn.
Kì vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số thực được tính theo công
thức:
E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=n∑i=1xipi,
ở đó pi=P(X=xi),(i=1,2,…,n)
• Phương sai:
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị x1,x2,…,xn.
Phương sai của X, kí hiệu là V(X) là một số được tính theo công thức:
V(X)=(x1−μ)2p1+(x2−μ)2p2+…+(xn−μ)2pn
=n∑i=1(xi−μ)2pi,
ở đó pi=P(X=xi)(i=1,2,…,n) và μ=E(X)
• Độ lệch chuẩn:
Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu σ(X), được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là:
σ(X)=√V(X)
|