1. Khái niệm số phức
ĐỊNH NGHĨA 1
Một số phức là một biểu thức dạng $a + bi$, trong đó a và b là những số thực và số i thoả mãn ${i^2} = - 1$ . Kí hiệu số phức đó là $z$ và viết $z = a + bi$.
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức $z = a + bi$.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là $\mathbb{C}$.
CHÚ Ý
Số phức $z = a + 0i$ có phần số ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là $a + 0i = a \in \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo( còn gọi là số thuần ảo): $z = 0 + bi = bi\,\,\,\,\,\,\,(b \in \mathbb{R});i = 0 + li = li$
Số $0 = 0 + 0i = 0i$ vừa là số thực vừa là số ảo
Ví dụ
Số phức $z = 2 + \sqrt 3 i$ có phần thực bằng 2, phần ảo bằng $\sqrt 3 $
Số phức $z = - 1$ (tức là (-1)i có phần thực bằng 0, phần ảo bằng -1 ; đó là một số ảo
ĐỊNH NGHĨA 2
Hai số phức $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right),z' = a' + b'i\left( {a',b' \in R} \right)$ gọi là bằng nhau nếu
$a = a',b = b'$
Khi đó ta viết $z = z'$.
2. Biểu diễn hình học số phức
Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một trục số.
Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức $z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})$được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ $(a; b)$. Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm $M\left( {a;b} \right)$ biểu diễn một số phức là $z = a + bi$. Ta còn viết $M\left( {a + bi} \right)$ hay $M\left( z \right)$.
Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức
Gốc tọa độ $O$ biểu diễn số $0$.
Các điểm trên trục hoành $Ox$ biểu diễn các số thực, do đó trục $Ox$ còn được gọi là trục thực
Các điểm trên trục tung biểu diễn các số ảo, do đó trục $Oy$ còn được gọi là trục ảo.
3. Phép cộng và phép trừ số phức
a) Tổng của hai số phức
ĐỊNH NGHĨA
Tổng của hai số phức $z = a + bi$, $z' = a' + b'i\left( {a,b,a',b' \in \mathbb{R}} \right)$ là số phức
$\left| z \right| = 1$$z + z' = a + a' + (b + b')i$
Như vậy để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau , cộng phần ảo với nhau
b) Tính chất của phép cộng số phức
Tính chất sau tương tự phép cộng các số thực
• Tính chất kết hợp
$\left( {z + z'} \right) + z'' = z + (z' + z'')$ với mọi $z,z',z'' \in \mathbb{C}$
• Tính chất giao hoán
$z + z' = z' + z$ với mọi $z,z' \in \mathbb{C}$
• Cộng với O :
$z + 0 = 0 + z$ với mọi $z \in \mathbb{C}$
• Với số phức $z = a + bi\,\,\,\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})$, nếu kí hiệu số phức $ - a - bi$ là $ - z$ thì ta có
$z + ( - z) = ( - z) + z = 0$
Số $ - z$ được gọi là số đối của số phức z.
c) Phép trừ hai số phức
ĐỊNH NGHĨA 4
Hiệu của hai số z và z’ là tổng của z với $ - z$ tức là
$z - z' = z + \left( { - z'} \right)$
d) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức
Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ $\left( {a;b} \right)$ biểu diễn số phức $z = a + bi$. Ta cũng coi mỗi vectơ $\overrightarrow u $ có tọa độ $\left( {a;b} \right)$ biểu diễn số phức $z = a + bi$.
Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vectơ $\overrightarrow {OM} $ biểu diễn số phức đó.
Dễ thấy rằng, nếu $\overrightarrow u $,$\overrightarrow {u'} $ theo thứ tự biểu diễn các số phức $z,z'$
$\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} $ biểu diễn số phức $z + z'$
$\overrightarrow u - \overrightarrow {u'} $ biểu diễn số phức $z$
4. Phép nhân số phức
a) Tích của hai số phức
ĐỊNH NGHĨA
Tính của hai số phức $z = a + bi$ và $z' = a' + b'i\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {a,b,a',b' \in \mathbb{R}} \right)$ là số phức
$zz' = {\text{aa}}' - bb' + \left( {ab' + a'b} \right)i$
Nhận xét: Với mọi số thực k và mọi số phức $a + bi\,\,\,\,\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})$, ta có
$k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi$,
Đặc biệt 0z = 0 với mọi số phức z.
b) Tính chất của phép nhân số phức
* Tính chất giao hoán :
$zz' = z'z$ với mọi $z,z' \in \mathbb{C}$
* Tính chất kết hợp:
$\left( {zz'} \right)z'' = z\left( {z'z''} \right)$ với mọi $z,z',z'' \in \mathbb{C}$
* Nhân với 1:
$1.z = z.1 = z$ với mọi $z \in \mathbb{C}$
* Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng):
$z\left( {z' + z''} \right) = zz' + zz''$ với mọi $z,z',z'' \in \mathbb{C}$
Từ các tính chất nói trên ta có thể thực hiện phép toán cộng và nhân các số phức theo các quy tắc như phép toán cộng và nhân các số thực.
5. Số phức liên hợp và môđun của số phức
a, Số phức liên hợp
ĐỊNH NGHĨA 6
Số phức liên hợp của $a + bi\,\,\,\,\,\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})$là $a - bi$và được kí hiệu bởi $\overline z $.
Như vậy $\overline z = \overline {a + bi} = a - bi$
- Rõ ràng $\overline{\overline z} = z$ nên người ta còn nói $z$và $\overline z $ là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số phức liên hợp)
Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục thực Ox
Hình 4.3 trang 187.
b, Môđun của số phức
ĐỊNH NGHĨA 7
Môđun của số phức $a + bi\,\,\,\,\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})$ là số thực không âm $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $và được kí hiệu là $\left| z \right|$.
Như vậy: Nếu $a + bi\,\,\,\,\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})$ thì $\left| z \right| = \sqrt {z\overline z } = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Ví dụ 8: $\left| i \right| = 1;\,\,\left| {1 + 2i} \right| = \sqrt {1 + {2^2}} = \sqrt 5 $
Nhận xét
1, Nếu $z$ là số thực thì môđun của $z$là giá trị tuyệt đối của số thực đó
2, $z = 0$ khi và chỉ khi $\left| z \right| = 0$
6. Phép chia cho số phức khác 0
ĐỊNH NGHĨA 8
Số nghịch đảo của số phức $z$ khác 0 là số ${z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z $
Thương $\frac{{z'}}{z}$ của phép chia số phức $z'$ cho số phức $z$ khác 0 là tích của $z'$ với số phức nghịch đảo của $z$, tức là $\frac{{z'}}{z} = z'{z^{ - 1}}$
Như vậy: Nếu $z \ne 0$thì $\frac{{z'}}{z} = \frac{{z'\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}$
CHÚ Ý
Do $\frac{{z'}}{z} = \frac{{z'\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'\overline z }}{{z\overline z }}$ nên để tính $\frac{{z'}}{z}$ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với $\overline z $
Nhận xét
1, Với $z \ne 0$, ta có $\frac{1}{z} = 1.{z^{ - 1}} = {z^{ - 1}}$
2, Dễ thấy rằng thương $\frac{{z'}}{z}$ là số phức $\omega $ sao cho $z\omega = z'$. Từ đó có thể nói phép chia (cho số phức khác 0) là phép toàn ngược của phép nhân.