1. Định nghĩa và ví dụ:
Định nghĩa 1: Một hàm số $u$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương ${\mathbb{N}^*}$ được gọi là một dãy số vô hạn ( hay còn gọi là dãy số).
Mỗi giá trị của hàm số $u$ được gọi là một số hạng của dãy số; $u(1)$ được gọi là số hạng thứ nhất (hay là số hạng đầu); $u(2)$ được gọi là số hạng thứ hai;…
Kí hiệu: dãy số $u = u(n)$được kí hiệu bởi $({u_n})$và gọi ${u_n}$ là số hạng tổng quát của dãy số đó.
Người ta cũng thường viết dãy số $({u_n})$dưới dạng khai triển:
${u_1},{u_2},...,{u_n},...$
Ví dụ 1: Hàm số $u(n) = \frac{1}{{n + 1}}$ xác định trên tập ${\mathbb{N}^*}$ là một dãy số. Dãy số này có vô số số hạng: ${u_1} = \frac{1}{2}$, ${u_2} = \frac{1}{3},{u_3} = \frac{1}{4},...$
Người ta cũng thường gọi một hàm số $u$ xác định trên tập hợp gồm m dãy số nguyên dương đầu tiên ($m$ tùy ý thuộc ${\mathbb{N}^*}$) là một dãy số. Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng (m số hạng : ${u_1},{u_2},...,{u_m}$). Vì thế người ta gọi nó là dãy số hữu hạn; ${u_1}$ gọi là số hạng đầu và ${u_m}$ là số hạng cuối.
2. Các cách cho một dãy số:
Một dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của dãy số đó. Từ đó, người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau:
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
Chẳng hạn: “Cho dãy số $({u_n})$với ${u_n} = \frac{{n - 1}}{{3n + 1}}$”
Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay còn nói: Cho dãy số bằng quy nạp)
Ví dụ 3: Xét dãy số $({u_n})$ xác định bởi : ${u_1} = 1$ và với mọi $n \geqslant 2$
${u_n} = 2{u_{n - 1}} + 1$ (2)
Rõ ràng, với cách cho như trên, ta có thể tìm được số hạng tùy ý của dãy số $({u_n})$:
Do ${u_1}$ đã biết nên áp dụng (2) cho $n = 2$ ta tìm được ${u_2}$
${u_2} = 2{u_1} + 1 = 2.1 + 1 = 3$;
Vì biết ${u_2}$ nên áp dụng (2) cho $n = 3$ ta tìm được ${u_3}$
${u_3} = 2{u_2} + 1 = 2.3 + 1 = 7$,…
Tiếp tục quá trình trên ta sẽ tìm được số hạng tùy ý của dãy số $({u_n})$.
Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa 2: Dãy số $({u_n})$ được gọi là dãy số tăng nếu với mọi $n$ ta có ${u_n} < {u_{n + 1}}$
Dãy số $({u_n})$ được gọi là dãy số giảm nếu với mọi $n$ ta có ${u_n} > {u_{n + 1}}$.
4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 3:
a) Dãy số $({u_n})$ được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho : $\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} \leqslant M$
b) Dãy số $({u_n})$ được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho $\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} \geqslant m$
c) Dãy số $({u_n})$ được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là tồn tại một số M và một số $m$ sao cho $\forall n \in {\mathbb{N}^*},m \leqslant {u_n} \leqslant M$.
|