1. Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức.
Một số tính chất đã biết của bất đẳng thức
$a>b$ và $b>c \Rightarrow a>c $
$a>b \Leftrightarrow a+c>b+c $
Nếu $c > 0$ thì $a > b \Leftrightarrow ac > bc$
Nếu $c < 0$ thì $a > b \Leftrightarrow ac < bc$
Từ đó ta có các hệ quả sau:
$a>b$ và $c>d \Rightarrow a+c>b+d; $
$a+c>b \Rightarrow a>b-c; $
$a>b\geq 0 $ và $c>d \geq 0 \Rightarrow ac>bd;$
$a>b\geq 0 $ và $n \in N^{*} \Rightarrow a^{n} > b^{n} $;
$a>b\geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{a}> \sqrt{b} ;$
$a>b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a}> \sqrt[3]{b} $
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ${x^2} > 2(x - 1)$
Giải:
$\begin{gathered}
{x^2} > 2(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} > 2x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 > 0 \\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + 1 > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + 1 > 0 \\
\end{gathered} $
Hiển nhiên ${(x - 1)^2} + 1 > 0$với mọi x nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau đây
$ - \left| a \right| \leqslant a \leqslant \left| a \right|$ với mọi $a \in \mathbb{R}$
$\left| x \right| < a \Leftrightarrow - a < x < a$ (với $a>0$)
$\left| x \right| > a \Leftrightarrow x < - a$ hoặc $x > a$ (với $a>0$)
Sau đây là hai bất đẳng thức quan trọng khác về giá trị tuyệt đối (viết dưới dạng bất đẳng thức kép)
$\left| a \right| - \left| b \right| \leqslant \left| {a + b} \right| \leqslant \left| a \right| + \left| b \right|$ với mọi $a,\,\,b \in \mathbb{R}$
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
a, Đối với hai số không âm
ĐỊNH LÝ
Với mọi $a \geqslant 0\,\,,\,\,b \geqslant 0$, ta có:
$\frac{{a + b}}{2} \geqslant \sqrt {ab} $
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Nói cách khác, trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
HỆ QUẢ:
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
ỨNG DỤNG
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cung diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = x + \frac{3}{x}$ với x > 0
Giải
Do $x > 0$ nên ta có $f\left( x \right) = x + \frac{3}{x} \geqslant 2\sqrt {x.\frac{3}{x}} = 2\sqrt 3 $và
$f\left( x \right) = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 $
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $f\left( x \right) = x + \frac{3}{x}$với $x>0$ là $f\left( x \right) = 2\sqrt 3 $ tại $x= \sqrt{3} $
b, Đối với ba số không âm
Với mọi $a \geqslant 0\,\,,\,\,b \geqslant 0,\,\,c \geqslant 0$, ta có:
$\frac{{a + b + c}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{abc}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$
Nói cách khác, trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của ba số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau.
|