a) $m \neq \pm \sqrt{2}$
b) $y^{2}=4x$
c) Trong mặt phẳng $Oxy$, xét Parabol:
$(P): y^{2}=4x$, có tiêu điểm $F(1;0)$.
* Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $F$ tạo với chiều dương của trục $Ox$ một góc $\alpha$ có dạng:
$(d): \begin{cases} qua F(1;0) \\ hệ số góc k= \tan \alpha \end{cases} \Leftrightarrow (d):y=(x-1)\tan \alpha$
* Tọa độ giao điểm $M,N$ của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\begin{cases} y^{2}=4x \\ y=(x-1)\tan \alpha \end{cases} \Rightarrow x^{2}\tan^{2} \alpha-2(\tan^{2} \alpha+2)x+\tan^{2} \alpha=0$ (1)
Ta có: $\Delta'=(\tan^{2} \alpha+2)^{2}-\tan^{4} \alpha+4 >0, \forall \alpha$ do đó (1) luôn có $2$ nghiệm phân biệt.
Vậy $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $M(x_M;y_M), N(x_N;y_N)$ có hoành độ thỏa mãn:
$x_M+x_N=\frac{2(\tan^{2} \alpha+2)}{\tan^{2} \alpha}$
* Gọi $E(x_E;y_E)$ là trung điểm của đoạn $MN$, ta có:
$\begin{cases} x_E=\frac{1}{2}(x_M+x_N) \\ y_E=(x_E-1)\tan \alpha \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E= \frac{\tan^{2} \alpha+2}{\tan^{2} \alpha} \\ y_E=\frac{2}{\tan \alpha}\end{cases} (I)$
Khử $\alpha$ từ hệ (I) ta được: $y^{2}_E=4x_E-2$
Vậy, quỹ tích trung điểm $E$ của đoạn $MN$ thuộc Parabol $(P_1)$ có phương trình $y^{2}=4x-2$ trong mặt phẳng $Oxy$.