Bài 107618

 Đặt $AB=2x$, trong tam giác vuông $ABC$ ta có:
  $AC=x, BC=x\sqrt{3}$ (do $\widehat{ABC}=60^0$)
Giả sử $BG \cap AC$ thì $BN=\frac{a}{2}BG=\frac{3a}{4}$.
Áp dụng định lí py ta go trong tam giác vuông $BNC$ ta có:
  $BN^2=NC^2+BC^2\Rightarrow \frac{9a^2}{16}=\frac{x^2}{4}+3x^2\Rightarrow x^2=\frac{9a^2}{52}         (1)$
ta có $V_{A'ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.B'G=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.BC.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{12}x.x\sqrt{3}=\frac{ax^2}{4}        (2)$
thay $(2)$ vào $(1)$ ta có: $V_{A'.ABC}=\frac{9a^3}{208}$    (đvtt).