Biến đổi f(x) về dạng:
$f(x)=\frac{\sin x}{1+\sin2x}=\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^2} $
Biến đổi:
$\sin x=a(\sin x+\cos x)+b(\cos x-\sin x)=(a-b)\sin x+(a+b)\cos x$
Đồng nhất đẳng thức ta được:
$\begin{cases}a-b=1 \\ a+b=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{1}{2} \\ b=-\frac{1}{2} \end{cases} $
Khi đó:
$I=\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}(\cos x-\sin x) }{(\sin x+\cos x)^2} dx$
$=\frac{1}{2 \sqrt{2} }\int\limits \frac{dx}{\sin (x+\frac{\pi}{4} )}-\frac{1}{2}\int\limits \frac{d(\sin x+\cos x)}{(\sin x+\cos x)^2} $
$=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln|\tan(\frac{x}{2} +\frac{\pi}{8} )|+\frac{1}{2} (\sin x+\cos x)+C $