Bài 107024

Question

Cho hai mặt phẳng có phương trình

$(P):x+2y+2z-1=0; (Q):2x-4y+3z+4=0$

a) Chứng minh

$(P),(Q)$ là hai mặt phẳng vuông góc

b) Viết phương trình mặt phẳng

$(R)$ đi qua điểm

$A(2;3;5)$ và vuông góc với hai mặt phẳng

$(P),(Q)$

c) Tìm các giá trị của

$m,n$ để mặt phẳng

$(\alpha ):2x+my+nz+1=0$ song song với

$(R)$ . Khi đó, tính bán kính của mặt cầu tiếp xúc với

$(R), (\alpha )$

Machiavelli · Answer 1 · 7/14/2012 9:58:29 AM

a) Vì

$1.2+2.(-4)+2.3=0$ nên

$(P),(Q)$ là hai mặt phẳng vuông góc

b)

$(P),(Q)$ có vecto pháp tuyến lần lượt là:

$\overrightarrow{n}_1 =(1;2;2), \overrightarrow{n}_2=(2;-4;3)$

Vì

$(R)$ vuông góc với

$(P),(Q)$ nên

$\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2$ song song hoặc chứa trong

$(R)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}_1 \wedge \overrightarrow{n}_2 =(14;1;-8)$ là một vecto pháp tuyến của

$(R)$ . Lại có

$A(2;3;5)\in R$ . Suy ra phương trình của

$(R)$ là:

$14(x-2)+1(y-3)-8(z-5)=0$ hay

$14x+y-8z+9=0$

c)

$(\alpha )//(R)\Leftrightarrow \frac{2}{14}=\frac{m}{1}=-\frac{n}{8}\neq \frac{1}{9}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=\frac{1}{7} \\ n=-\frac{8}{7} \end{array} \right.$

Suy ra phương trình

$(\alpha ):2x+\frac{1}{7}y-\frac{8}{7}z+1=0$

Đường kính

$d$ của mặt cầu

$(S)$ tiếp xúc với hai mặt phẳng

$(\alpha ), (R)$ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng

$(\alpha ), (R)$

Thế

$y=z=0$ vào phương trình

$(\alpha )$ ta được:

$x=-\frac{1}{2} \Rightarrow M(-\frac{1}{2};0;0 )\in (\alpha )$ và ta có:

$d=d(M,(R))=\frac{|14(-\frac{1}{2} )+0-8(0)+9|}{\sqrt{14^2+1+8^2} }=\frac{|2|}{\sqrt{261} }=\frac{2}{3\sqrt{29} }$

Suy ra bán kính của mặt cầu

$(S)$ là

$\frac{1}{3\sqrt{29} }$

Bài 107024

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107024

1 Đáp án

Liên quan

Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết liên quan