Bài 106419

Question

Cho hàm số

$y = x^2 + 2x - 3$ .
a) Khảo sát chiều biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận đường thẳng

$\Delta: x+ 1 = 0$ làm trục đối xứng.
c) Tìm trên đồ thị các khoảng mà ở đó tung độ y nhận giá trị không âm, những khoảng mà y <

$0$ .
d) Suy ra đồ thị hàm số

$y = |x^2 + 2x - 3|$ từ đồ thị hàm số đã cho.

newsun · Answer 1 · 6/16/2012 9:55:21 AM

a) Hàm số

$y = x^2 + 2x - 3$ có tập xác định

$\mathbb{D} = \mathbb{R}.$
Vì

$a = 1 > 0$ nên hàm số quay bề lõm về phía trên.

$\Delta = 16 \Rightarrow -\frac{\Delta}{4a} = -4 ; \frac{- b}{2a} = -1$ .
- Nghịch biến trong khoảng

$(-\infty ; -1)$
- Đồng biến trong khoảng

$(-1 ; +\infty )$
- Nhận giá trị nhỏ nhất

$-4$ , ứng với

$x = -1$ .
Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị:
Ta tìm một số điểm đặc biệt.
- Đỉnh

$I(-1; -4)$
- Giao điểm với trục tung

$A(0;-3)$ và suy ra điểm

$A'(-2 ; -3)$ .
- Ta có:

$y= x^2 +2x - 3$
Vì

$x^2 + 2x - 3 = x^2 + 3x - x - 3 = (x+3)(x - 1)$

$\Rightarrow y = (x - 1)(x+3)$
Ta có:

$x = 1 \Rightarrow y = 0$

$x = -3 \Rightarrow y = 0$
Ta được hai giao điểm của

$y= x^2 +2x - 3$ với trục hoành là

$N(1;0), M(-3; 0)$ . Ta được đồ thị dưới:

b)
Ta có thể viết hàm số dưới dạng:

$y= x^2 +2x - 3 \Rightarrow y = (x+1)^2 - 4 \Rightarrow y+4 = (x+1)^2$
Thực hiện việc chuyển trục tọa độ theo công thức

$\begin{cases}x= X-1 \\ y= Y-4\end{cases}$
ta có

$(Y - 4)+4 = [(X-1)+1]^2 \Rightarrow Y=X^2$ .
Trong hệ tọa độ mới, hàm số

$Y = X^2$ là hàm số chẵn, đồ thị của nó đối xứng qua trục tung đội

$IY: x= X-1 \Rightarrow X = x+1$ .
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng

$\Delta: x+1 = 0$ làm trục đối xứng.
c)
Trên đồ thị ta nhận thấy các phần Mz, Nt nằm trên trục hoành, ứng với các giá trị

$y\geq 0$ , các nhánh này ứng với

$x\leq - 3$ hoặc

$x\geq 1$ .
Nhánh MIN nằm dưới trục hoành, ứng vơi

$y< 0$ , nhánh này ứng với

$-3<x<1$ .
Vậy với

$x\leq -3$ hoặc

$x\geq 1$ thì

$y \ge 0$ .
với

$-3<x<1$ thì

$y<0$
d)
Theo kết quả câu c) thì ứng với các giá trị

$x\leq -3$ hoặc

$x\geq 1$ , ta có các giá trị

$y\geq 0$ , do đó trong các khoảng

$(-\infty ; -3]$ hoặc

$[1; +\infty )$ thì đồ thị hàm số

$y=|x^2 + 2x -3|$ trùng với đồ thị hàm số

$y = x^2 + 2x - 3$ .
Trong khoảng

$(-3; 1)$ thì

$y<0$ do đó đồ thị hàm số

$|y = x^2 +2x - 3|$ là đối xứng của phần đồ thị hàm số

$y = x^2 + 2x - 3$ trong khoảng

$(-3; 1)$ qua trục hoành.

Bài 106419

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106419

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan