|
|
Hệ đã cho tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}
x > 0,x \ne 1,y > 0,y \ne 1\\
{x^2} = 3x + ky,{y^2} = 3y + kx
\end{array} \right.$
Từ hai phương trình cuối suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
x > 0,x \ne 1,y > 0,y \ne 1\\
{x^2} = 3x + ky,{y^2} = 3y + kx
\end{array} \right.$
a) $x = y \Rightarrow {x^2} = (3 + k)x$ mà $x > 0$ nên $x = y = 3 + k$.
Nghiệm này chấp nhận được nếu $3 + k > 0,3 + k \ne 1 \Rightarrow k > - 3,k \ne - 2$
b) $x + y = 3 - k \Rightarrow y = 3 - k - x$
$ \Rightarrow {x^2} - (3 - k)x - k(3 - k) = 0$ $(1)$
Ta có
$\Delta = {(3 - k)^2} + 4k(3 - k) = (3 - k)(3 + 3k) \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le k \le 3$
Gọi $x_1, x_2$ là nghiệm của $(1)$, theo định lý Viet:
$\begin{array}{l}
{y_1} = 3 - k - {x_1} = {x_1} + {x_2} - {x_1} = {x_2},\\
{y_2} = 3 - k - {x_2} = {x_1} + {x_2} - {x_2} = {x_1}.
\end{array}$
Để chấp nhận được các nghiệm này ta phải có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} > 0,{x_2} > 0 \Rightarrow 3 - k > 0, - k(3 - k) > 0\\
{x_1} \ne 1,{x_2} \ne 1 \Rightarrow {1^2} - (3 - k).1 - k(3 - k) = {k^2} - 2k - 2 \ne 0
\end{array} \right.$
Cùng với điều kiện $ - 1 \le k \le 3$ suy ra $ - 1 \le k < 0,k \ne 1 - \sqrt 3 $
(Nếu $k = -1$ thì , ${x_1} = {x_2} \Rightarrow x = y$, trở về câu a)
Vậy : Với $k > - 3,k \ne - 2$ hệ có nghiệm $x = y = 3 + k$.
Ngoài ra với $ - 1 < k < 0,k \ne 1 - \sqrt 3 $, hệ còn có $2$ nghiệm nữa:$\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_1}\\
y = {x_2}
\end{array} \right.$ , $\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_2}\\
y = {x_1}
\end{array} \right.$
Trong đó $x_1, x_2$ là nghiệm của $(1).$
Với $k \le - 3$ thì hệ vô nghiệm.
|
|
|
Đăng bài 23-05-12 09:10 AM
|
|