a) Vì \(x=\pi+k2\pi \Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi \) không nghiệm đúng phương trình (1) nên \( \cos \frac{x}{2}\neq 0 \). Ta sử dụng công thức: $$ \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+tan^{2}\frac{x}{2}}, \cos x=\frac{1-tan^{2}\frac{x}{2}}{1+tan^{2}\frac{x}{2}} $$ Đặt \( \tan \frac{x}{2}=t \), ta được phương trình: $$ f(t)=t^{2}-(m+2)t+2m+1=0 $$ (*) Với \( m=-2 \), ta được \( t=\pm\sqrt{3} \). Các họ nghiệm của (1) là: \( x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi, k\in Z \). b) Để (1) có nghiệm \( x\in [\frac{\pi}{2};0] \), tương đương \( \frac{x}{2}\in [-\frac{\pi}{4};0] \) tương đương \( t=\tan \frac{x}{2}\in [-1;0] \). Để (*) có một nghiệm thuộc \( [-1;0] \) ta phải có: $$ f(0).f(1)=(2m+1)(3m+4)\leq 0 \Leftrightarrow -\frac{4}{3}\leq m\leq-\frac{1}{2} $$. Để (*) có hai nghiệm thuộc \( [-1;0] \) ta phải có: $$ \begin{cases}\Delta=m^{2}-4m\geq0 \\ af(-1)=3m+4\geq0\\af(0)=2m+1\geq0 \\-1\leq\frac{S}{2}=\frac{m+2}{2}\leq0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m\leq0 hoặc m\geq4\\ m\geq -\frac{4}{3} \\m\geq-\frac{1}{2}\\-4\leq m\leq-2\end{cases} \Rightarrow mâu thuẫn $$ Tóm lại: Để (1) có nghiệm ta phải có: \(-\frac{4}{3}\leq m\leq -\frac{1}{2}\).
Thẻ
Lượt xem