Bài 101684

Question

Giải và biện luận theo $a$ hệ sau :
$\left\{ \begin{array}{l}
2cos\,x + a. \sin\,y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
{\log _z}\sin y = {\log _z}a.{\log _a}\left( {2 - 3cos\,x} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
{\log _a}z + {\log _a}\left( {\frac{1}{{2a}} - 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.$

nguyenxuanhung710 · Answer 1 · 7/8/2012 10:22:50 AM

Các điều kiện:
$\left\{ \begin{array}{l}
1 \ne a > 0\\
\frac{1}{{2a}} - 1 > 0\\
1 \ne z > 0\\
\sin \,y > 0\\
2 - 3\cos\,x > 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0<a<\frac1 2\\ 1\neq z>0\\0<\sin y\\\cos x<\frac 2 3 \end{array} \right.$
    Biến đổi ta có hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
2\cos\,x + a\sin\,y = 1\,\\
\sin y = 2 - 3\cos\,x\\
{\log _a}z = {\log _a}\frac{{2a}}{{1 - 2a}}
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin \,y = 2 - 3\cos\,x\\
2\cos\,x + a\left( {2 - 3\cos\,x} \right) = 1\\
z = \frac{{2a}}{{1 - 2a}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos\,x = \frac{{1 - 2a}}{{2 - 3a}}\\
\sin \,y = \frac{1}{{2 - 3a}}\\
z = \frac{{2a}}{{1 - 2a}}
\end{array} \right.$
    Kết hợp các điều kiện ta suy ra :
$\left\{ \begin{array}{l}
-1<\frac{1-2a}{{2 - 3a}} < \frac 2 3\\
0 < \frac{{1 }}{{2 - 3a}} \le1\\
0 < \frac{{2a}}{{1 -2 a}} \ne 1 \\0<a<\frac 12
\end{array} \right.
\Leftrightarrow $        $\left\{ \begin{array}{l}
a\neq \frac{1}{4}\\
0< a \le \frac{1}{3}
\end{array} \right.$
Kết luận:
Với $a\in (-\infty,0]\cup \left\{ {\frac 1 4} \right\}\cup (\frac 1 3;+\infty)$, hệ PT vô nghiệm
Với $a\in (0;\frac 1 4)\cup (\frac 1 4;3]$ hệ có nghiệm:
                             $\left\{ \begin{array}{l}
x = \pm \arccos \,\frac{{1 - 2a}}{{2 - 3a}} + k2\pi ,\,\,\,\,\,\,k \in {\rm Z}\\
y = \arcsin \,\frac{1}{{2 - 3a}}+h2\pi \vee y=\pi-\arcsin \frac 1{2-3a}+h2\pi\,\,\,\,,\,\,\,\,h \in {\rm Z}\\
z = \frac{{2a}}{{1 - 2a}}
\end{array} \right.$

Bài 101684

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101684

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan