Bài 100619

Question

Cho hai điểm

$A(0, 0 , - 3); B(2, 0, - 1)$ và mặt phẳng

$P$ có phương trình:

$3x – 8y +7z – 1 = 0$

$1$ . Tìm tọa độ giao điểm

$I$ của đường thẳng đi qua hai điểm

$A, B$ với mặt phẳng

$P$ .

$2$ . Tìm tọa độ của điểm

$C$ nằm trên mặt phẳng

$P$ sao cho tam giác

$ABC$ là tam giác đều.

quang_phong · Answer 1 · 6/29/2012 11:05:20 PM

$1$ .

$A(0,0.-3)$ và

$B(2,0,-1)$ ,

$\Rightarrow AB=(2,0,2)$

$\Rightarrow B$ có vecto chỉ phương

$v=(1,0,1)$ và có phương trình là

$x=0+1,y=0+Ot,z=-3+t$ .
Thế vào phương trình

$(P)$ ta được

$t=\frac{11}{5}$

$2$ . Xét điểm

$C(x, y, z)$ thuộc

$P$ , ta có

$\overrightarrow {AC} = \left( {x,y,z + 3} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {2,0,2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {x - 2,y,z + 1} \right),$

$A{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2},$

$A{B^2} = 8,$

$B{C^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ đều

$\Leftrightarrow AC = BC = AB$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 8$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + z + 1 = 0\\ {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 8 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = - \left( {x + 1} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\\ 2{x^2} - 4x - 4 + {y^2} = 0 \left( 2 \right) \end{array} \right.$
Thế

$z = - \left( {x + 1} \right)$ vào phương trình

$(P)$ ta được

$x + 2y + 2 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{2}$ thế vào

$(2)$ ta được:

$3{x^2} - 3x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2,y = - 2,z = - 3\\ x = - \frac{2}{3},y = - \frac{2}{3},z = - \frac{1}{3} \end{array} \right.$
Vậy trên

$(P)$ có

$2$ điểm

$C$ để tam giác

$ABC$ đều, đó là các điểm

$C\left( {2, - 2,3} \right);\left( { - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}} \right)$