|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 12/06/2019
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
$\left\{ \begin{array}{l}(3x+y).(x+3y).\sqrt{xy}=14\\ (x+y).(x^{2}+y^{2}+14xy)=36 \end{array} \right.$ $(x,y\in R)$
|
|
|
Điều kiện: $xy\ge0$ Hệ phương trình tương đương với: $\left\{\begin{array}{l}[3(x+y)^2+4xy]\sqrt{xy}=14\\(x+y)[(x+y)^2+12xy]=36\end{array}\right.$ Đặt: $a=x+y,b=\sqrt{xy}$, ta được: $\left\{\begin{array}{l}(3a^2+4b^2)b=14\\a(a^2+12b^2)=36\end{array}\right.$ $\Rightarrow 14a(a^2+12b^2)-36b(3a^2+4b^2)=0$ $\Leftrightarrow 14a^3-108a^2b+168ab^2-144b^3=0$ $\Leftrightarrow 2(a-6b)(7a^2-12ab+12b^2)=0$ $\Leftrightarrow a=6b$ Thay vào $(1)$ ta suy ra: $\left\{\begin{array}{l}a=3\\b=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$ Dẫn tới: $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\xy=\dfrac{1}{4}\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{3\pm 2\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{3\pm 2\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.$,
|
|
|
giải đáp
|
$\begin{cases}x- \sqrt{y+1} =\frac{5}{2} \\ y + 2(x - 3)\sqrt{x+1} = -\frac{3}{4} \end{cases} $
|
|
|
Điều kiện:$x,y\geq -1$ Phương trình một tương đương $y=(x-\frac{5}{2})^2-1$ =$x^2-5x+\frac{21}{4}$ Thay vào phương trình hai : $x^2-5x+\frac{21}{4}+2(x-3)\sqrt{x+1}=-\frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow $ $x^2-5x+6+2(x-3)\sqrt{x+1}=0$ $\Leftrightarrow $ $(x-3)(x-2)+2(x-3)\sqrt{x+1}=0$ $\Leftrightarrow $ $(x-3)(x-2+2\sqrt{x+1})=0$ $\Leftrightarrow $ x=3 (do phương trình một suy ra $x\geq \frac{5}{2}$ nên $x-2+2\sqrt{x+1}>0$) Thay vào suy ra $y=-\frac{3}{4}$ Vậy $x=3$ $y=-\frac{3}{4}$ là nghiệm của phương trình.
|
|
|
|
|
giải đáp
|
#10horses
|
|
|
Khi 3 con ngựa mang số $1,2,3$ về đầu thì: Có $3!$ cách chọn thứ tự cho 3 con ngựa số $1,2,3$ Có $7!$ cách chọn thứ tự cho 7 con ngựa còn lại. Suy ra có: $3!.7!=30240$ trường hợp thỏa mãn.
|
|
|
|
giải đáp
|
$x^2+bx+2=0$
|
|
|
a. Gọi A là biến cố phương trình có nghiệm.Phương trình có nghiệm khi: $\Delta\ge0\Leftrightarrow b^2-8\ge0\Rightarrow b\ge3$.Số khả năng của $b$ là: 6.Số khả năng của $b$ để phương trình có nghiệm là: 4 $(b\in\{3;4;5;6\})$Vậy: $P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$b. Gọi B là biến cố phương trình vô nghiệm. Phương trình có nghiệm khi: $\Delta<0\Leftrightarrow b^2-8<0\Rightarrow b<3$.Số khả năng của $b$ là: 6.Số khả năng của $b$ để phương trình vô nghiệm là: 2 $(b\in\{1;2\})$Vậy: $P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$c. Gọi C là biến cố phương trình có nghiệm nguyên. Số khả năng của $b$ là: 6.Số khả năng của $b$ để phương trình có nghiệm nguyên là: 1 $(b=3)$Vậy: $P(C)=\frac{1}{6}$
|
|
|
giải đáp
|
$2\cos^2\frac{x^2+x}{2}=2^x+2^{-x}$.
|
|
|
Ta có: $VT=2\cos^2\frac{x^2+x}{2}\le2;\forall x\in\mathbb{R}$. Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: $VP=2^x+2^{-x}\ge2\sqrt{2^x.2^{-x}}=2;\forall x\in\mathbb{R}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=0$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.
|
|
|
giải đáp
|
$\cos [\frac{\pi }{2}\cos (x-\frac{\pi }{4})]=\frac{\sqrt{2} }{2} $
|
|
|
Phương trình tương đương với: $\begin{cases}\frac{\pi }{2}\ cos(x-\frac{\pi }{4}) = \frac{\pi }{4}+2k \pi \\\frac{\pi }{2}\ cos(x-\frac{\pi }{4}) =-\frac{\pi }{4}+2k \pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\ cos(x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}+4k (1) \\\ cos(x-\frac{\pi }{4}) =-\frac{1}{2}+4k (2) \end{cases} k\in Z$ Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi: $|\frac{1}{2}+4k|\leq 1 \Leftrightarrow \frac{-3}{8}\leq k \leq \frac{1}{8} \Leftrightarrow k=0 . (k\in Z) $ Khi đó $(1)$ có dạng : $\ cos(x-\frac{\pi }{4}) =\frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases}x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+2l \pi \\ x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{3}+2l \pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{7 \pi }{12}+2l \pi \\ x= \frac{-\pi }{12}+2l \pi \end{cases} l\in Z (3) $ Phương trình $(2)$ có nghiệm khi và chỉ khi: $|-\frac{1}{2}+4k|\leq 1 \Leftrightarrow \frac{-1}{8}\leq k \leq \frac{3}{8} \Leftrightarrow k=0 (k\in Z) $ Khi đó $(2)$ có dạng: $\ cos(x-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2} $ $\Leftrightarrow \begin{cases} x-\frac{\pi }{4} =\frac{2 \pi }{3}+2l \pi \\ x-\frac{\pi }{4} =-\frac{2 \pi }{3}+2l \pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{11 \pi }{12}+2l \pi \\ x=\frac{-5 \pi }{12}+2l \pi \end{cases} l\in Z (4)$ Kết hợp $(3), (4)$ ta có: $\begin{cases}x=\frac{11 \pi }{12}+l \pi \\ x= \frac{7 \pi }{12}+ l \pi \end{cases} , l\in Z $ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
|
|
|
giải đáp
|
$\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x } $
|
|
|
Phương trình đã cho tương đương với: $2\cos(x-\frac{\pi}{6})=\sqrt{2[1+\cos(2x-\frac{\pi}{3})]}$ $(1)$ $\Leftrightarrow \cos(x-\frac{\pi}{6})=|\cos(x-\frac{\pi}{6})|$ Từ đó suy ra nghiệm của $(1)$ là: $-\frac{\pi}{2}+2k\pi\le x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{2}+2k\pi,\,\mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow -\frac{\pi}{3}+2k\pi\le x\le \frac{2\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$.
|
|
|
giải đáp
|
$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$
|
|
|
Bổ đề: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}, \forall a, b >0$. Áp dụng ta có $\dfrac{16}{2x+y+z}=4.\dfrac{4}{2x+(y+z)} \le \dfrac{4}{2x}+\dfrac{4}{y+z} \le \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ Tương tự $\dfrac{16}{x+2y+z}\le \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}$ $\dfrac{16}{x+y+2z}\le \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}$ cộng theo từng vế ta có $\dfrac{16}{2x+y+z}+\dfrac{16}{x+2y+z}+\dfrac{16}{x+y+2z} \le 4\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )=16$ Vậy $\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\leq 1$ , đpcm. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}$.
|
|
|
giải đáp
|
$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}[\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}]=2+\sqrt{1-x^2}$
|
|
|
Điều kiện: $-1\leq x\leq 1$ * Nếu $ -1\leq x< 0$ thì VT$ <0<$VP * Nếu $0\leq x\leq 1$. Đặt $x=\cos \varphi (0\leq \varphi<\frac{\pi}{2})$ PT $\Leftrightarrow \sqrt{1+\sin \varphi}(2\sqrt{2}\cos^3 \frac{\varphi}{2}-2\sqrt{2}\sin^3\frac{\varphi}{2})=2+\sin\varphi$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{2}(\sin \frac{\varphi}{2}+\cos \frac{\varphi}{2})(\cos \frac{\varphi}{2}-\sin \frac{\varphi}{2})(1+\frac{1}{2}\sin\varphi)=2+\sin\varphi$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\cos \varphi(1+\frac{1}{2}\sin\varphi)=2+\sin\varphi \Leftrightarrow \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}$( do $\cos\varphi\geq 0$) Vậy $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình
|
|
|
giải đáp
|
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 (1)\\ 3\log_9(9x^2)-\log_3 y^3=3 (2) \end{array} \right.$
|
|
|
ĐK: $\left\{ \begin{array}{l} x\geq 1\\ 0<y\leq 2\end{array} \right.$ $(2)\Leftrightarrow 3(1+\log_3x)-3\log_3y=3\Leftrightarrow \log_3x=\log_3y\Leftrightarrow x=y.$ Thay $y=x$ vào (1) ta có: $\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1\Leftrightarrow x-1+2-x+2\sqrt{(x-1)(2-x)}=1$ $\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(2-x)}=0 \Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} x=1 \\ x=2 \end{matrix}} \right..$ Vậy hệ có hai nghiệm là: $\color{red}{(x;y)=(1;1)}$ và $\color{red}{(x;y)=(2;2)}$.
|
|
|