Phương pháp quy nạp toán học
Là một phương pháp toán để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến n(n≥p), ta thực hiện hai bước sau:
• Bước 1: (bước có sở, hay bước khởi đầu). Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n=p.
• Bước 2: ( bước quy nạp với giả thiết quy nạp). Với k là một số nguyên dương tùy ý (k≥p), xuất phát từ giả thiết A(n) là một mệnh đề đúng khi n=k, chứng minh A(n) cũng là một mệnh đề đúng khi n=k+1.
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
13+23+...+n3=n2(n+1)24 (3)
Giải: ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n=1, ta có
13=1=12(1+1)24
Như vậy (3) đúng khi n=1
+ Giả sử (3) đúng khi n=k,k∈N∗, tức là
13+23+...+k3+(k+1)3=(k+1)2(k+2)24
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
13+23+...+k3+(k+1)3=k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)24.(k2+4k+4)=(k+1)2(k+2)24
Vậy (3) đúng với mọi số nguyên dương n.
|