1. Phương trình mặt phẳng
Vecto $\overrightarrow n \ne 0$ gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
Rõ ràng nếu $\overrightarrow n $ là vecto pháp tuyến của $mp\left( \alpha \right)$ thì $k\overrightarrow n \,\,(k \ne 0)$ cũng là vecto pháp tuyến của $mp\left( \alpha \right)$
Trong không gian Oxyz cho $mp\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n (A;B;C)$. Vì $\overrightarrow n \ne 0$ nên ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0$. Điều kiện cần và đủ để điểm ${M_{}}({x_{}};{y_{}};{z_{}})$thuộc $mp\left( \alpha \right)$ là:
$A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Nếu đặt $D = - ({\text{A}}{{\text{x}}_0} + B{y_0} + C{z_0})$
Phương trình (1) trở thành:
${\text{Ax}} + By + Cz + D = 0$ trong đó ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0$ (2)
Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của $mp\left( \alpha \right)$ hay nói gọn là phương trình $mp\left( \alpha \right)$
Định lý:
Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình:
${\text{Ax}} + By + Cz + D = 0$ trong đó ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0$
Đều là phương trình của 1 mặt phẳng xác định
2. Các trường hợp riêng
Xét mặt phẳng có phương trình:
${\text{Ax}} + By + Cz + D = 0$ với các hệ số A,B,C,D đều khác 0
Đặt $a = - \frac{D}{A};b = - \frac{D}{B};c = - \frac{D}{C}$ ta đưa phương trình trên về dạng:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$
Phương trình (3) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Ví dụ: Trong không gian Oxyz , cho điểm $M = (30;15;6)$
a) Hãy viết phương trình $mp\left( \alpha \right)$ đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ
b) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên $mp\left( \alpha \right)$
Giải:
a) Các hình chiếu của M trên các trục tọa độ là các điểm $(30;0;0),(0;15;0),(0;0;6)$. Phương trình $mp\left( \alpha \right)$ đi qua 3 điểm đó là:
$\frac{x}{{30}} + \frac{y}{{15}} + \frac{z}{6} = 1$ hay $x + 2y + 5z - 30 = 0$
b) Điểm H nằm trên $mp\left( \alpha \right)$ và vecto $\overrightarrow {OH} $ cùng phương với vecto pháp tuyến $\overrightarrow n (1;2;5)$ của $mp\left( \alpha \right)$ tức là $\overrightarrow {OH} = t\overrightarrow n $. Bởi vậy, nếu gọi $(x;y;z)$ là tọa độ điểm H thì:
$\left\{ \begin{gathered}
x + 2y + 5z - 30 = 0 \\
x = t \\
y = 2t \\
z = 5t \
\end{gathered} \right.$
Giải ra ta được t=1, do đó H=(1;2;5)
3. Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( {\alpha '} \right)$lần lượt có phương trình:
$\begin{gathered}
\left( \alpha \right):{\text{Ax}} + By + Cz + D = 0 \\
\left( {\alpha '} \right):{\text{A'x}} + B'y + C'z + D' = 0 \\
\
\end{gathered} $
a) Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi $A:B:C \ne A':B':C'$
b) Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi
$\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}$
c) Hai mặt phẳng đó trùng nhau khi:
$\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} = \frac{D}{{D'}}$
4. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và $mp\left( \alpha \right)$ có phương trình: ${\text{Ax}} + By + Cz + D = 0$. Khoảng cách từ ${M_0}$ đến $mp\left( \alpha \right)$:
$d({M_0};(\alpha )) = \frac{{\left| {{\text{A}}{{\text{x}}_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$