|
|
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
- Định nghĩa: Hệ gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian
Thuật ngữ và ký hiệu:
- Hệ trục tọa độ trong định nghĩa trên còn được gọi đơn giản là hệ tọa độ trong không gian, ký hiệu là Oxyz. Ta thường gọi các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là →i,→j,→k và còn ký hiệu hệ trục tọa độ là (O;→i,→j,→k). Điểm O gọi lả gốc của hệ tọa độ, Ox gọi là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao
- Các mặt phẳng đi qua 2 trong 3 trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, ta ký hiệu chúng là mp(Oxy), mp(Oyz) và mp(Ozx) hoặc đơn giản hơn là (Oxy),(Oyz),(Ozx)
- Khi không gian đã có 1 hệ tọa độ Oxyz thì nó được gọi là không gian tọa độ Oxyz hoặc đơn giản hơn là không gian Oxyz
- Chú ý các đẳng thức sau:
→i2=→j2=→k2=1→i.→j=→j.→k=→k.→i=0
2. Tọa độ của vecto
- Trong không gian tọa độ Oxyz với các vecto đơn vị →i,→j,→k trên các trục, cho 1 vecto →u. Khi đó có bộ 3 số duy nhất (x;y;z) sao cho →u=x→i+y→j+z→k. Bộ 3 số đó gọi là tọa độ của vecto →u đối với hệ tọa độ Oxyz và ký hiệu hoặc →u(x;y;z)
Vậy:→u=(x;y;z)⇔→u(x;y;z)⇔→u=x→i+y→j+z→k
Hiển nhiên ta có: →i=(1;0;0);→j=(0;1;1);→k=(0;0;1)
Từ định nghĩa về tọa độ của vecto, ta dễ dàng suy ra các tính chất sau:
Cho các vecto →u1=(x1;y1;z1),→u2=(x2;y2;z2),→u3=(x3;y3;z3) và số k tùy ý, ta có
1)→u1=→u2⇔x1=x2,y1=y2,z1=z22)→u1±→u2=(x1±x2;y1±y2;z1±z2)3)k→u1=(kx1;kx2;kx3)4)→u1.→u2=x1x2+y1y2+z1z25)|→u1|=√→u12=√x12+y12+z126)cos(→u1,→u2)=x1x2+y1y2+z1z2√x12+y12+z12.√x22+y22+z22(→u1≠0,→u2≠0)7)→u1⊥→u2⇔→u1.→u2=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0
3. Tọa độ của điểm
Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điểm M được hoàn toàn xác định bởi vecto →OM. Bởi vậy, nếu (x;y;z) là tọa độ của →OM thì ta cũng nói (x;y;z) là tọa độ của điểm M và ký hiệu là M=(x;y;z) hoặc M(x;y;z)
Như vậy: M=(x;y;z)⇔→OM=x→i+y→j+z→k
Số x gọi là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của điểm M
4. Liên hệ giữa tọa độ của vecto và tọa độ của 2 điểm mút
Cho 2 điểm A(xA;yA;zA)&B(xB;yB;zB). Khi đó ta có:
1)→AB=(xB−xA;yB−yA;zB−zA)2)AB=√(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
5. Tích có hướng của 2 vecto:
Tích có hướng (hay tích vecto) của 2 vecto →u(a;b;c)&→v(a′;b′;c′) là 1 vecto, kí hiệu là [→u,→v] hoặc →u∧→v, được xác định bằng tọa độ như sau:
[→u,→v] = (|bcb′c′|;|cac′a′|;|aba′b′|)=(bc′−b′c;ca′−a′c;ab′−a′b)
Tính chất của tích có hướng:
1. Vecto [→u,→v] vuông góc với cả 2 vecto →u&→v tức là:
[→u,→v].→u=[→u,→v].→v=0
2. |[→u,→v]|=|→u|.|→v|.sin(→u,→v)
3. [→u,→v]=0 khi và chỉ khi 2 vecto →u&→v cùng phương
Ứng dụng của tích có hướng:
a) Tính diện tích hình bình hành:
Nếu ABCD là hình bình hành thì diện tích của nó là: S=|[→AB,→AD]|
b) Tính thể tích khối chóp:
Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp với diện tích đáy ABCD là S, chiều cao là h = AH, φ là góc hợp bởi 2 vecto →AA′&[→AB,→AD] thì thể tích của hình hộp đó là:
V=S.h=|[→AB,→AD]|.AH=[→AB,→AD].|→AA′|.cosφ
Một số tính chất liên quan đến tích vô hướng và tích có hướng:
→u⊥→v⇔→u.→v=0
→u và →v cùng phương ⇔[→u,→v]=0
→u,→v,→w đồng phẳng ⇔[→u,→v].→w=0
6. Phương trình mặt cầu:
Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I(x0;y0;z0), bán kính R có phương trình:
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2
Phương trình x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi a2+b2+c2>d. Khi đó tâm mặt cầu là điểm I(−a;−b;−c) và bán kính: R=√a2+b2+c2−d
|