|
|
1. Mở đâu về hình học không gian
Trong chương trình hình học lớp 10 và Chương I của lớp 11, ta chỉ nói đến những hình trong mặt phẳng như: tam giác, đường tròn, vectơ,… Chúng được gọi là những hình phẳng. Môn học nghiên cứu các tính chất của những hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng gọi là Hình học không gian.
Mặt phẳng
Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt bàn, tấm gương phẳng…cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng trong không gian.
Điểm thuộc mặt phẳng
Ta biết rằng khi cho điểm A và đường thẳng a thì hoặc điểm A thuộc đường thẳng a, hoặc điểm A không thuộc đường thẳng a.
Tương tự như vậy, với một điểm A và một mặt phẳng $\left( P \right)$, cũng có hai khả năng sảy ra:
- Hoặc điểm A thuộc mp $\left( P \right)$, khi đó ta kí hiệu $A \in mp\left( P \right)$ hay $A \in \left( P \right)$.
- Hoặc điểm A không thuộc mp $\left( P \right)$, ta còn nói điểm A ở ngoài mp $\left( P \right)$và ký hiệu $A \notin mp\left( P \right)$ hay $A \notin \left( P \right)$
Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, người ta đưa ra những quy tắc thường được áp dụng như:
- Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng
- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).
- Điểm A thuộc đường thẳng a được biểu diễn bởi một điểm A’ thuộc đường thẳng a’, trong đó a’ biểu diễn cho đường thẳng a.
- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn $\left( { - - - } \right)$để biểu diễn cho những đường bị khuất
2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Tính chất thừa nhận1
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
Tính chất thừa nhận 2
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước
Tính chất thừa nhận 3
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng
Tính chất thừa nhận 4
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tính chất thừa nhận 5
Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng
ĐỊNH LÝ
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
Ví dụ 1
Cho 4 điểm $O, A, B, C$ không đồng phẳng. Trên các đường thẳng $OA, OB, OC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác O sao cho các đường thẳng sau đây cắt nhau: BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’
a, Hãy xác định giao điểm của mỗi đường thẳng A’B’, B’C’, C’A’ với $mp\left( {ABC} \right)$
b, Chứng minh rằng các giao điểm trên thẳng hàng
Giải:
a, Giả sử đường thẳng A’B’ cắt đường thẳng AB tại điểm H. Khi đó điểm H thuộc cả hai đường thẳng A’B’ và AB. Mặt khác, đường thẳng AB nằm trong$mp\left( {ABC} \right)$ nên H chính là giao điểm của đường thẳng A’B’ với $mp\left( {ABC} \right)$.
Gọi I, J lần lượt là giao điểm của các đường thẳng B’C’ và BC, C’A’ và CA thì I, J theo thứ tự chính là giao điểm của A’C’, C’A’ với $mp\left( {ABC} \right)$
b, Theo câu a ta có H, I, J lần lượt thuộc các đường thẳng A’B’, B’C’, C’A’ nên chúng cùng thuộc $mp\left( {A'B'C'} \right)$. Mặt khác H, I, J cùng thuộc $mp\left( {ABC} \right)$. Theo tính chất thừa nhận 4 điểm, ba điểm A, I, J thuộc giao tuyến $\Delta $của hai mặt phẳng phân biệt $\left( {ABC} \right)$và $\left( {A'B'C'} \right)$nên chúng phải thẳng hàng
CHÚ Ý
Qua ví dụ trên, ta thấy:
- Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng $\left( P \right)$, ta tìm một đường thẳng nào đó nằm trên $\left( P \right)$mà cắt d. Khi đó, giao điểm của hai đường thẳng này là giao điểm cần tìm.
- Muốn chứng minh các điểm thẳng hàng ta có thể chứng tỏ rằng chúng là những điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.
3. Điều kiện xác định mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng
Mặt khác, nếu đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì nằm trên mặt phẳng ấy. Từ đó và từ điều kiện xác định mặt phẳng nói trên, ta còn suy ra:
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau
Kí hiệu:
- Mặt phẳng đi qua đường thẳng a và điểm A không nằm trên a được kí hiệu là mp(a,A) hoặc mp(A,a)
- Mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là mp(a,b)
4. Hình chóp và hình tứ diện
Hình chóp
ĐỊNH NGHĨA
Cho đa giác ${A_1}{A_2}...{A_n}$ và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối $S$ với các đỉnh ${A_1},\,\,{A_2},\,\,....,\,\,\,{A_n}$ để được $n$ tam giác: $S{A_1}{A_2},\,\,S{A_2}{A_3},....,\,\,S{A_n}{A_1}\,\,$
Hình gồm n tam giác đó và đa giác ${A_1}{A_2}...{A_n}$ gọi là hình chóp và được ký hiệu là $S.{A_1}{A_2}...{A_n}$
Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp. Đa giác ${A_1}{A_2}...{A_n}$ gọi là mặt đáy của hình chóp. Các cạnh của mặt đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Các đoạn thẳng $S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}$gọi là các cạnh bên của hình chóp. Mỗi tam giác $S{A_1}{A_2},\,\,S{A_2}{A_3},....,\,\,S{A_n}{A_1}\,\,$ gọi là 1 mặt bên của hình chóp. Nếu đáy của hình chóp là 1 tam giác, tứ giác, ngũ giác… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác…
CHÚ Ý:
Tứ giác A’B’CD có các cạnh nằm trên những giao tuyến của mặt phẳng $\left( {A'CD} \right)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$. Tứ giác đó được gọi là thiết diện (hay mặt cắt) của hình chóp $S.ABCD$khi cắt bởi $mp\left( {A'CD} \right)$.
Hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác $ABC,\,\,ACD,\,\,\,ABD,\,\,\,BCD$ gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB,BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
|