1.Góc giữa hai vectơ

                 
       Cho 2 vecto $\overrightarrow {a\,} \& \overrightarrow b $ đều khác 0. Từ 1 điểm O nào đó vẽ $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {a\,} \& \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b $
- Số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $, hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ$\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $
- Nếu $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^ \circ }$ thì ta nói rằng hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b $.
2. Định nghĩa tích vô hướng cả hai vectơ
       Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là một số, kí hiệu $\overrightarrow a .\overrightarrow b $, được xác định bởi
$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|c{\text{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$
Ví dụ:
Cho tam giác đều ABC có cạnh a và trọng tâm G .Tính các tích vô hướng sau
$\begin{gathered}
  \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ;\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \,\,;\,\,\,\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AB}    \\
  \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} ;\,\,\,\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GA} \,;\,\,\,\,\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {BC}    \\
\end{gathered} $
Giải.
 
          Theo định nghĩa ta có
$\begin{gathered}
  \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \, = \,a.a.c{\text{os}}{60^0} = \frac{1}{2}{a^2}   \\
  \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \, = \,a.a.c{\text{os12}}{{\text{0}}^0} =  - \frac{1}{2}{a^2}   \\
  \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AB}  = \,a\frac{{\sqrt 3 }}{3}.a.c{\text{os3}}{0^0} = {a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{2}{a^2};   \\
  \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC}  = a\frac{{\sqrt 3 }}{3}.a\frac{{\sqrt 3 }}{3}.c{\text{os12}}{{\text{0}}^0} = \frac{{{a^2}}}{6};\,\,\,   \\
  \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GA} \, = a\frac{{\sqrt 3 }}{3}.a\frac{{\sqrt 3 }}{3}.c{\text{os6}}{{\text{0}}^0} = \frac{{{a^2}}}{6};\,   \\
  \overrightarrow {GA} .\overrightarrow {BC}  = a\frac{{\sqrt 3 }}{3}.a.c{\text{os9}}{{\text{0}}^0} = 0;\,   \\
\end{gathered} $
Bình phương vô hướng
Bình phương vô hương của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó
3. Tính chất của tính vô hướng
Định lí
Với ba vectơ$\overrightarrow a $,$\overrightarrow b $, $\overrightarrow c $tuỳ ý và mọi  số thưc k ,ta có
1)$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow a $            (tính chất giao hoán);
2)$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b $
3)$(k\overrightarrow a ).\overrightarrow b  = \overrightarrow a .(k\overrightarrow b ) = k(\overrightarrow a .\overrightarrow b );$
4) $\overrightarrow a .(\overrightarrow b  + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow a .\overrightarrow c $          (tính chất phân phối đối với phép cộng);
     $\overrightarrow a .(\overrightarrow b  - \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b  - \overrightarrow a .\overrightarrow c $    (tính chất phân phối đối với phép trừ);
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD
a, Chứng minh rằng
$A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} $
b, Từ câu a), hãy chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường thẳng chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Giải
 
a, Ta có
 $\begin{gathered}
  A{B^2} + C{D^2} - B{C^2} - A{D^2}   \\
   = {(\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} )^2} + C{D^2} - C{B^2} - {(\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CA} )^2}   \\
   = \,\, - 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} \,\, + 2\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {CA}    \\
   = 2\overrightarrow {CA} .(\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB} ) = 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}    \\
\end{gathered} $
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
b, Từ a ta có ngay
 $CA \bot BD \Leftrightarrow \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}  \Leftrightarrow A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}$
CHÚ Ý
1)Cho 2 vecto $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} $. Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thằng OA. Khi đó:
- Vecto $\overrightarrow {OB'} $gọi là hình chiếu của vecto $\overrightarrow {OB} $ trên đường thằng OA
- Công thức $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB'} $ gọi là công thức hình chiếu
 
2)    Cho đường tròn (O;R) và điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M, cắt đường tròn đó tại 2 điểm A và B.
 
Khi đó, giá trị không đổi $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = {d^2} - {R^2}\,\,\,\,(d = MO)$ gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là ${(P)_{M/(O)}}$
${(P)_{M/(O)}} = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = {d^2} - {R^2}(d = MO)$
3) Khi điểm M nằm ngoài đường tròn (O), MT là tiếp tuyến của đường tròn đó ( T là tiếp điểm) thì
${(P)_{M/(O)}} = {\overrightarrow {MT} ^2} = M{T^2}$
4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Các hệ thức quan trọng
Cho hai vectơ $\overrightarrow b  = \left( {x';y'} \right)$và $\overrightarrow b  = \left( {x';y'} \right)$
1)$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy'$
2) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $
3) $c{\text{os}}(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sqrt {{x^{'2}} + y{'^2}} }}\,\,\,\,\,(\overrightarrow a  \ne 0,\overrightarrow b  \ne 0)$
Đặc biệt:  $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow xx' + yy' = 0$
HỆ QUẢ
 Trong mặt phẳng toạ độ, khoảng cách giữa hai điểm $M({x_M};{y_M})$ và $N({x_N};{y_N})$ là
$MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{({x_N} - {x_M})}^2} + {{({y_N} - {y_M})}^2}} $

Chat chit và chém gió
  • Rainy: hôm qua e mới biết 7/23/2014 11:52:57 PM
  • Rainy: cơ m 7/23/2014 11:52:59 PM
  • Rainy: c lại off 7/23/2014 11:53:02 PM
  • Windy: crying 7/23/2014 11:53:08 PM
  • Rainy: thôi để còn vài ngày nữa sn mama e 7/23/2014 11:53:48 PM
  • Min: biết j e 7/23/2014 11:53:55 PM
  • Rainy: e mời c đến ăn bánh kem 7/23/2014 11:54:06 PM
  • Rainy: e mới biết sn gió 7/23/2014 11:54:17 PM
  • Rainy: hôm qua 7/23/2014 11:54:34 PM
  • Windy: cơ mà gió làm sao vi vu đến đc tận Huế -_- 7/23/2014 11:54:41 PM
  • Rainy: thôi thì đến BG cx đc 7/23/2014 11:55:01 PM
  • Rainy: ăn sn baba c min laughing 7/23/2014 11:55:11 PM
  • Min: ai mời mà đến laughing 7/23/2014 11:55:27 PM
  • Windy: đến đấy biết đâu c í lại tảh chó ra í 7/23/2014 11:55:33 PM
  • Windy: biết mà 7/23/2014 11:55:38 PM
  • Windy:7/23/2014 11:55:40 PM
  • Windy: e cũng k thèm nhá 7/23/2014 11:55:46 PM
  • Min: ý c là 7/23/2014 11:55:47 PM
  • Windy: no_talking 7/23/2014 11:55:49 PM
  • Min: c sẽ mời gió 7/23/2014 11:55:54 PM
  • Min: nhưng 7/23/2014 11:55:56 PM
  • Min: k mời Q 7/23/2014 11:55:58 PM
  • Min: thôi 7/23/2014 11:55:59 PM
  • Min: big_grin 7/23/2014 11:56:01 PM
  • Windy: hee_hee 7/23/2014 11:56:08 PM
  • Min: k đọc câu trên. híhí 7/23/2014 11:56:09 PM
  • Rainy: frustrated 7/23/2014 11:56:25 PM
  • Rainy:7/23/2014 11:56:28 PM
  • Rainy: e k thèm nhá 7/23/2014 11:56:38 PM
  • Min: thèm mà đc à 7/23/2014 11:56:48 PM
  • Rainy: e ăn sn mama e r 7/23/2014 11:56:48 PM
  • Min: đùa chứ 7/23/2014 11:56:53 PM
  • Rainy: ko thèm 7/23/2014 11:56:54 PM
  • Min: c đag bận 7/23/2014 11:56:58 PM
  • Rainy: frustrated 7/23/2014 11:57:01 PM
  • Min: mấy đứa nc đi 7/23/2014 11:57:02 PM
  • Min: straight_face 7/23/2014 11:57:05 PM
  • Rainy: bận lm quà sn 7/23/2014 11:57:14 PM
  • Min: bận dỗ trẻ 7/23/2014 11:57:20 PM
  • Rainy: laughing 7/23/2014 11:57:22 PM
  • Min: rolling_on_the_floor 7/23/2014 11:57:24 PM
  • diendien_01: van chưa ngủ sao mà chém gió khoẻ thế các em 7/23/2014 11:57:37 PM
  • Windy: klq nhưng e biết cái phi vụ 2 người đang nói r nhá 7/23/2014 11:57:38 PM
  • Windy: k phải dấu e 7/23/2014 11:57:44 PM
  • Rainy: nhà c nhiều trẻ thế 7/23/2014 11:57:47 PM
  • Min: liên quan mà sad 7/23/2014 11:57:51 PM
  • Rainy: gió *suỵt* 7/23/2014 11:57:56 PM
  • Min: thế c mới nhờ e giúp 7/23/2014 11:57:56 PM
  • Windy: à à 7/23/2014 11:58:07 PM
  • Min: gió ơi 7/23/2014 11:58:07 PM
  • Windy: dạ 7/23/2014 11:58:11 PM
  • Min: lát rảnh thì nhắn tin đt vs c 7/23/2014 11:58:19 PM
  • Min: đc ko e 7/23/2014 11:58:21 PM
  • Windy: e k ở nhà c ạ 7/23/2014 11:58:29 PM
  • Min: ủa 7/23/2014 11:58:33 PM
  • Min: chứ e ở đâu 7/23/2014 11:58:37 PM
  • Windy: e lên nhà mợ e 7/23/2014 11:58:52 PM
  • Min: oh 7/23/2014 11:58:59 PM
  • Min: giống c 7/23/2014 11:59:02 PM
  • Min: cx ko ở nhà 7/23/2014 11:59:07 PM
  • Min: winking 7/23/2014 11:59:10 PM
  • Windy: big_grin 7/23/2014 11:59:18 PM
  • Windy: chả là 7/23/2014 11:59:22 PM
  • Windy: mấy hôm nữa gió sẽ vi vu ra hà nội 7/23/2014 11:59:41 PM
  • Windy: hí hí 7/23/2014 11:59:46 PM
  • Min: ra hú hí vs jea chăng surprise 7/24/2014 12:00:07 AM
  • Nhọ: laughing) 7/24/2014 12:00:11 AM
  • Rainy: về hà đông chơi vs jea đê laughing 7/24/2014 12:00:18 AM
  • Windy: nài c min 7/24/2014 12:00:21 AM
  • Min: cơ mà 7/24/2014 12:00:33 AM
  • Min: jea ko ở hn đâu 7/24/2014 12:00:33 AM
  • Windy: e đang nghiêm túc mờ 7/24/2014 12:00:33 AM
  • Min: laughing 7/24/2014 12:00:33 AM
  • Rainy: nghe giang hồ đồn đại 7/24/2014 12:00:37 AM
  • Nhọ: jea nào ở hn hđ 7/24/2014 12:00:46 AM
  • Rainy: nhọ là ny của Việt Anh laughing 7/24/2014 12:00:47 AM
  • Nhọ: laughing 7/24/2014 12:00:49 AM
  • Windy: khoan 7/24/2014 12:00:54 AM
  • Windy: cho gió phát biểu cái nào 7/24/2014 12:01:03 AM
  • Min: ko p giang hồ đồn mà là Nhọ tự nhận rolling_on_the_floor 7/24/2014 12:01:12 AM
  • Min: gì v gió 7/24/2014 12:01:18 AM
  • Rainy: èo 7/24/2014 12:01:36 AM
  • Rainy: e đi ngủ đây yawn 7/24/2014 12:01:46 AM
  • Rainy: m.n ngủ ngon 7/24/2014 12:01:51 AM
  • Windy: e ra hà nội xem đôi mắt thiên thần này có tăng đi ốp nào k mừ 7/24/2014 12:01:52 AM
  • Windy: ==' 7/24/2014 12:01:56 AM
  • Nhọ: laughing 7/24/2014 12:02:12 AM
  • Windy: Q ngủ ngon 7/24/2014 12:02:18 AM
  • Nhọ: thui ngủ náo 7/24/2014 12:02:23 AM
  • Windy: yawn 7/24/2014 12:04:16 AM
  • Min: big_grin 7/24/2014 3:12:17 AM
  • Min: ai dậy chưa big_grin 7/24/2014 4:13:29 AM
  • Min: thế là hôm nay thức trắng rồi laughing 7/24/2014 5:11:23 AM
  • Rainy: surprise 7/24/2014 7:25:42 AM
  • Rainy: mẹ ơi c Min 7/24/2014 7:25:48 AM
  • Rainy: thức trắng luôn á 7/24/2014 7:26:02 AM
  • hieugiapbat: ha 7/24/2014 9:06:00 AM
  • CS-K41-PBC: 222222222 7/24/2014 11:08:32 AM
  • inh_anchi: hj 7/24/2014 3:41:21 PM
  • intimate_trong: big_grin 7/24/2014 3:47:31 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • trymybest123456789
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • jea¤¤student
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart97
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Rainy
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ♥♥Hoàng Huy♥♥
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • lethanhdao7794
  • c0nnithu