1. Số phức dưới dạng lượng giác
a, Acgumen của số phức z≠0
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z≠0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
CHÚ Ý
Nếu φ là một acgumen của z thì mọi acgumen của x có dạng φ+k2π,k∈Z
b, Dạng lượng giác của số phức
ĐỊNH NGHĨA 2
Dạng z=r(cosφ+isinφ), trong đó r> 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z≠0. Còn dạng z=a+bi(a,b∈R) được gọi là dạng đại số của số phức z.
Nhận xét:
- Để tìm dạng lượng giác r(cosφ+isinφ) của số phức z=a+bi(a,b∈R) khác 0 cho trước, ta cần:
1) Tìm r: đó là mô-đun của z, r=√a2+b2; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức
2) Tìm φ: đó là 1 acgumen của z; φ là số thực sao cho cosφ=ar và sinφ=br; số φ đó cũng là số đo 1 góc lượng giác của tia đầu Ox, tia cuối OM
CHÚ Ý
1, |z|=1 khi và chỉ khi z=cosφ+isinφ(φ∈R)
2, Khi z = 0 thì |z|=r=0 nhưng acgumen của x không xác định ( acgumen của 0 là số thực tùy ý)
3, Cần để ý đòi r>0 trong dạng lượng giác r(cosφ+isinφ) của số phức z≠0
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Định lý:
Nếu
z=r(cosφ+isinφ)z=r′(cosφ′+isinφ′)(r⩾
Thì
\begin{gathered} zz' = rr'{\text{[}}c{\text{os}}(\varphi + \varphi ') + i\sin (\varphi + \varphi ')] \\ \frac{z}{{z'}} = \frac{r}{{r'}}[\cos (\varphi ' - \varphi ) + i\sin (\varphi ' - \varphi )]\,\,\,\,\,\,\,(khi\,\,\,r > 0) \\ \end{gathered}
3, Công thức Moa-vro và ứng dụng
a) Công thức Moa-vro
Với mọi số nguyên dương n:
{\left[ {r(c{\text{os}}\varphi {\text{ + i}}\sin \varphi )} \right]^n} = {r^n}(\cos n\varphi + {\text{i}}\sin n\varphi )
Khi r=1 ta có:
{(c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi )^n} = \cos n\varphi + {\text{i}}\sin n\varphi
Cả 2 công thức trên đều gọi là công thưc Moa-vro
b) Ứng dụng vào lượng giác:
Công thức khai triển lũy thừa bậc 3 của nhị thức c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi cho ta:
{(c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi )^3} = c{\text{o}}{{\text{s}}^3}\varphi - 3\cos \varphi {\sin ^2}\varphi + i(3{\cos ^2}\varphi \sin \varphi - {\sin ^3}\varphi )
Mặt khác theo công thưc Moa-vro:
{(c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi )^3} = c{\text{os}}3\varphi + {\text{i}}\sin 3\varphi
Từ đó suy ra:
\begin{gathered} c{\text{os}}3\varphi = c{\text{o}}{{\text{s}}^3}\varphi - 3\cos \varphi {\sin ^2}\varphi = 4{\cos ^3}\varphi - 3\cos \varphi \\ \sin 3\varphi = 3{\cos ^2}\varphi \sin \varphi - {\sin ^3}\varphi = 3\sin \varphi - 4{\sin ^3}\varphi \\ \end{gathered}
Tương tự, bằng cách đối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi với công thức Moa-vro, ta có thể biểu diễn \cos n\varphi và \sin n\varphi theo các lũy thừa của c{\text{os}}\varphi và \sin \varphi
c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Từ công thức Moa-vro, dễ thấy số phức z = r(c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi ),\,\,r > 0 có 2 căn bậc hai là:\sqrt r (c{\text{os}}\frac{\varphi }{2} + {\text{i}}\sin \frac{\varphi }{2}) và - \sqrt r (c{\text{os}}\frac{\varphi }{2} + {\text{i}}\sin \frac{\varphi }{2}) = \sqrt r \left( {c{\text{os}}(\frac{\varphi }{2} + \pi ) + {\text{i}}\sin (\frac{\varphi }{2} + \pi )} \right)
|