1. Số phức dưới dạng lượng giác
a, Acgumen của số phức $z \ne 0$
ĐỊNH NGHĨA 1
        Cho số phức $z \ne 0$. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số $z$. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
CHÚ Ý
 Nếu $\varphi $ là một acgumen của z thì mọi acgumen của x có dạng $\varphi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
b, Dạng lượng giác của số phức
ĐỊNH NGHĨA 2
          Dạng $z = r\left( {c{\text{os}}\varphi  + {\text{i}}\sin \varphi } \right)$, trong đó r> 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức $z \ne 0$. Còn dạng  ${\text{z}} = a + bi\,\,\,\,\,(a,b \in R)$ được gọi là dạng đại số của số phức z.
Nhận xét:
-    Để tìm dạng lượng giác $r(c{\text{os}}\varphi  + i\sin \varphi )$ của số phức ${\text{z}} = a + bi\,\,\,\,\,(a,b \in R)$ khác 0 cho trước, ta cần:
1)    Tìm r: đó là mô-đun của z, $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức
2)    Tìm $\varphi $: đó là 1 acgumen của z; $\varphi $ là số thực sao cho $c{\text{os}}\varphi  = \frac{a}{r}$ và $\sin \varphi  = \frac{b}{r}$; số $\varphi $ đó cũng là số đo 1 góc lượng giác của tia đầu Ox, tia cuối OM
CHÚ Ý
1, $\left| z \right| = 1$ khi và chỉ khi $z = c{\text{os}}\varphi  + {\text{i}}\sin \varphi \,\,\,\,\,\,(\varphi  \in \mathbb{R})$
2, Khi z = 0 thì $\left| z \right| = r = 0$ nhưng acgumen của x không xác định ( acgumen của 0 là số thực tùy ý)
3, Cần để ý đòi r>0 trong dạng lượng giác $r(c{\text{os}}\varphi  + i\sin \varphi )$ của số phức $z \ne 0$
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Định lý:
Nếu
 $\begin{gathered}
  z = r(c{\text{os}}\varphi  + i\sin \varphi )   \\
  z = r'(c{\text{os}}\varphi ' + i\sin \varphi ')\,\,\,(r \geqslant 0,r' \geqslant 0)   \\
\end{gathered} $
Thì
 $\begin{gathered}
  zz' = rr'{\text{[}}c{\text{os}}(\varphi  + \varphi ') + i\sin (\varphi  + \varphi ')]   \\
  \frac{z}{{z'}} = \frac{r}{{r'}}[\cos (\varphi ' - \varphi ) + i\sin (\varphi ' - \varphi )]\,\,\,\,\,\,\,(khi\,\,\,r > 0)   \\
\end{gathered} $
3, Công thức Moa-vro và ứng dụng
a)    Công thức Moa-vro
Với mọi số nguyên dương n:
${\left[ {r(c{\text{os}}\varphi {\text{ + i}}\sin \varphi )} \right]^n} = {r^n}(\cos n\varphi  + {\text{i}}\sin n\varphi )$
Khi r=1 ta có:
${(c{\text{os}}\varphi  + {\text{i}}\sin \varphi )^n} = \cos n\varphi  + {\text{i}}\sin n\varphi $
Cả 2 công thức trên đều gọi là công thưc Moa-vro
b)    Ứng dụng vào lượng giác:
Công thức khai triển lũy thừa bậc 3 của nhị thức $c{\text{os}}\varphi  + {\text{i}}\sin \varphi $ cho ta:
${(c{\text{os}}\varphi  + {\text{i}}\sin \varphi )^3} = c{\text{o}}{{\text{s}}^3}\varphi  - 3\cos \varphi {\sin ^2}\varphi  + i(3{\cos ^2}\varphi \sin \varphi  - {\sin ^3}\varphi )$
Mặt khác theo công thưc Moa-vro:
${(c{\text{os}}\varphi  + {\text{i}}\sin \varphi )^3} = c{\text{os}}3\varphi  + {\text{i}}\sin 3\varphi $
Từ đó suy ra:
$\begin{gathered}
  c{\text{os}}3\varphi  = c{\text{o}}{{\text{s}}^3}\varphi  - 3\cos \varphi {\sin ^2}\varphi  = 4{\cos ^3}\varphi  - 3\cos \varphi    \\
  \sin 3\varphi  = 3{\cos ^2}\varphi \sin \varphi  - {\sin ^3}\varphi  = 3\sin \varphi  - 4{\sin ^3}\varphi    \\
\end{gathered} $
Tương tự, bằng cách đối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức $c{\text{os}}\varphi  + {\text{i}}\sin \varphi $ với công thức Moa-vro, ta có thể biểu diễn $\cos n\varphi $ và $\sin n\varphi $ theo các lũy thừa của $c{\text{os}}\varphi $và $\sin \varphi $
c)    Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Từ  công thức Moa-vro, dễ thấy số phức $z = r(c{\text{os}}\varphi  + {\text{i}}\sin \varphi ),\,\,r > 0$ có 2 căn bậc hai là:$\sqrt r (c{\text{os}}\frac{\varphi }{2} + {\text{i}}\sin \frac{\varphi }{2})$ và $ - \sqrt r (c{\text{os}}\frac{\varphi }{2} + {\text{i}}\sin \frac{\varphi }{2}) = \sqrt r \left( {c{\text{os}}(\frac{\varphi }{2} + \pi ) + {\text{i}}\sin (\frac{\varphi }{2} + \pi )} \right)$

Thẻ

Lượt xem

12594
Chat chit và chém gió
  • misschpro: bạn làm đc hông 9/29/2014 9:49:05 PM
  • Bão Táp: sleepy 9/29/2014 9:51:07 PM
  • ~Kezo~: chị đó mày] 9/29/2014 9:51:09 PM
  • misschpro: thui bye mn 9/29/2014 9:51:54 PM
  • misschpro: sleepy 9/29/2014 9:52:07 PM
  • ~Kezo~: wave 9/29/2014 9:52:41 PM
  • misschpro: goodnight 9/29/2014 9:52:43 PM
  • Bão Táp: sleepywave 9/29/2014 9:54:50 PM
  • tuan_daihiep_94: wave 9/29/2014 9:56:58 PM
  • Bão Táp: cú đêm đê 9/29/2014 9:59:24 PM
  • Tiểu sa nhi: winking 9/29/2014 9:59:33 PM
  • Tiểu sa nhi: kekeke 9/29/2014 9:59:57 PM
  • Tiểu sa nhi: ta đã trở lại và lợi hại gấp tư 9/29/2014 10:00:15 PM
  • Bão Táp: cười kinh tế 9/29/2014 10:00:20 PM
  • Tiểu sa nhi: hee_hee 9/29/2014 10:00:35 PM
  • Tiểu sa nhi: thế nào 9/29/2014 10:00:39 PM
  • Tiểu sa nhi: duyên chưa 9/29/2014 10:00:45 PM
  • Tiểu sa nhi: batting_eyelashes 9/29/2014 10:00:49 PM
  • Bão Táp: roài 9/29/2014 10:01:09 PM
  • ~Kezo~: yawn 9/29/2014 10:01:11 PM
  • huongvu1322002: 222222222 9/29/2014 10:01:21 PM
  • Min Tồ: frustrated 9/29/2014 10:01:25 PM
  • Tiểu sa nhi: chị min 9/29/2014 10:01:30 PM
  • Min Tồ: big_grin em 9/29/2014 10:01:35 PM
  • huongvu1322002: whew 9/29/2014 10:01:41 PM
  • Min Tồ: cát ơi ib c bảo 9/29/2014 10:01:53 PM
  • Tiểu sa nhi: cái mặt bị làm sao vậy chị 9/29/2014 10:01:56 PM
  • Tiểu sa nhi: dạ 9/29/2014 10:01:59 PM
  • Min Tồ: ^^ 9/29/2014 10:02:17 PM
  • Bão Táp: big_grin 9/29/2014 10:03:05 PM
  • Min Tồ: sao c ko tìm thấy nick e vậy cát 9/29/2014 10:03:17 PM
  • Tiểu sa nhi: em cũng thế 9/29/2014 10:03:27 PM
  • Tiểu sa nhi: ko thấy nick chị 9/29/2014 10:03:34 PM
  • Min Tồ: mà c nói luôn 9/29/2014 10:03:42 PM
  • Min Tồ: cả trang và cát big_grin 9/29/2014 10:03:47 PM
  • Bão Táp: dạ 9/29/2014 10:03:53 PM
  • Tiểu sa nhi: vâng 9/29/2014 10:03:56 PM
  • Min Tồ: mấy đứa nhận lời tgia các sự kiện mà c mời mấy đứa đi nha 9/29/2014 10:04:05 PM
  • Min Tồ: hộ c big_grin 9/29/2014 10:04:08 PM
  • Bão Táp: rùi ạ 9/29/2014 10:04:14 PM
  • Min Tồ: có 2 sự kiện đó ^_^ 9/29/2014 10:04:20 PM
  • Tiểu sa nhi: chị Min ơi 9/29/2014 10:05:42 PM
  • Min Tồ: sao cát 9/29/2014 10:05:48 PM
  • Tiểu sa nhi: nick chị là Phạm Hà à 9/29/2014 10:05:49 PM
  • Min Tồ: ơ ko 9/29/2014 10:05:54 PM
  • Min Tồ: IvIrs Ngốk mà em 9/29/2014 10:06:00 PM
  • Tiểu sa nhi: lạ thật 9/29/2014 10:06:18 PM
  • Min Tồ: sao e 9/29/2014 10:06:34 PM
  • Tiểu sa nhi: em ko thấy sự kiện của chị 9/29/2014 10:06:35 PM
  • Min Tồ: để c xem lại 9/29/2014 10:06:48 PM
  • Min Tồ: chờ c xíu 9/29/2014 10:06:51 PM
  • Min Tồ: viết nick e cho c 9/29/2014 10:07:08 PM
  • Tiểu sa nhi: Sagitta Kagamine 9/29/2014 10:07:21 PM
  • Min Tồ: big_grin c vừa mời e r đấy 9/29/2014 10:07:42 PM
  • Min Tồ: Trang: tks e nha 9/29/2014 10:07:46 PM
  • Tiểu sa nhi: ok chị 9/29/2014 10:08:35 PM
  • Bão Táp: big_grin 9/29/2014 10:09:02 PM
  • Min Tồ: còn cái nữa e big_grin 9/29/2014 10:09:12 PM
  • Min Tồ: r đó bé 9/29/2014 10:10:09 PM
  • Tiểu sa nhi: xong rùi 9/29/2014 10:10:44 PM
  • Min Tồ: hi 9/29/2014 10:10:52 PM
  • Min Tồ: ok 9/29/2014 10:10:53 PM
  • Min Tồ: tks e nha 9/29/2014 10:10:55 PM
  • Tiểu sa nhi: ko có chi 9/29/2014 10:11:44 PM
  • Min Tồ: mà dạo này c ít onl 9/29/2014 10:12:49 PM
  • Min Tồ: có gi hot k e 9/29/2014 10:12:53 PM
  • Bão Táp: devil 9/29/2014 10:13:20 PM
  • Min Tồ: sao trang 9/29/2014 10:13:58 PM
  • Bão Táp: k ak 9/29/2014 10:14:06 PM
  • Min Tồ: big_grin 9/29/2014 10:15:22 PM
  • Min Tồ: thôi c out nhé. mn onl sau ở lại onl w 9/29/2014 10:15:35 PM
  • ~Kezo~: em nhận đk lời mời của chị rồi 9/29/2014 10:20:07 PM
  • ~Kezo~: d 9/29/2014 10:24:32 PM
  • Bão Táp: wave 9/29/2014 10:25:31 PM
  • tieutuliti98: mn giúp vs 9/29/2014 10:28:14 PM
  • tieutuliti98: ú 9/29/2014 10:28:15 PM
  • tieutuliti98: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127344/ae-gisp-vs 9/29/2014 10:28:23 PM
  • tieutuliti98: anh chuyên cơ cuối cùng giải nhầm so vs yêu cầu đê 9/29/2014 10:28:43 PM
  • Bão Táp: thumbs_up 9/29/2014 10:32:42 PM
  • Bí ẩn: lm ơn giúp mk vs, mai mk nộp rùi: Cho $x,\,y>0$ thỏa $x+y=\dfrac{17}{4}.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P=x^2+11x+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2x+11}{y}+\dfrac{3y}{xy+1}$$ 9/29/2014 11:05:40 PM
  • tieutuliti98: có ai k 9/30/2014 10:18:00 AM
  • tieutuliti98: ae giúp vs 9/30/2014 10:22:06 AM
  • tieutuliti98: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127360/mn-giup-vs 9/30/2014 10:22:18 AM
  • tieutuliti98: k co ai ak 9/30/2014 10:32:26 AM
  • tieutuliti98: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127360/mn-giup-vs 9/30/2014 11:42:36 AM
  • tieutuliti98: ai onl giai dùm vs, chiu nay kt ui 9/30/2014 11:42:47 AM
  • tieutuliti98: a chuyên cơ cuối cùng còn onl k 9/30/2014 11:45:17 AM
  • tieutuliti98: có ai k 9/30/2014 12:12:37 PM
  • misschpro: có ai hông 9/30/2014 6:23:51 PM
  • misschpro: sad 9/30/2014 6:46:01 PM
  • dolaemon98: sad 9/30/2014 6:48:07 PM
  • dolaemon98: big_grin 9/30/2014 6:48:14 PM
  • dolaemon98: wave pp nha 9/30/2014 6:48:45 PM
  • misschpro: giúp với 9/30/2014 7:02:26 PM
  • Lã Phụng Tiên: giúp mình với 9/30/2014 7:05:58 PM
  • Lã Phụng Tiên: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127350/moi-nguoi-giup-minh-nhe# 9/30/2014 7:05:59 PM
  • misschpro: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127372/cau-a-em-lam-duoc-rui-con-cau-b-c-thoi 9/30/2014 7:06:27 PM
  • misschpro: giúp tớ câu b,c với 9/30/2014 7:06:42 PM
  • misschpro: happy 9/30/2014 7:08:15 PM
  • ~Kezo~: worried 9/30/2014 8:00:48 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • JayCe
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Tiểu sa nhi
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • nguyendanh2401
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Hòn Sỏi Buồn
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • ~Liêu xiêu~
  • kuzulies
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • Bí ẩn
  • c.x.sadhp1999
  • tranthidiem098
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Tèo Handsome
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • longdang0902
  • tieutuliti98