1. Khái niệm tích phân
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số $f$ liên tục trên $K$ và $a , b$ là hai số bất kì thuộc $K$. Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì hiệu số
$F\left( b \right) - F\left( a \right)$
được gọi là tích phân của $f$ từ $a$ đến $b$ và kí hiệu là
$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
Trong trường hợp $a < b$, ta gọi $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $ là tích phân của $f$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.
Người ta còn dùng kí hiệu $F(x)\mathop |\nolimits_a^b $ để chỉ hiệu số $F\left( b \right) - F\left( a \right)$. Như vậy, nếu $F$ là 1 nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F(x)\mathop |\nolimits_a^b $
Vì $\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} $ là 1 nguyên hàm bất kì của F nên ta có
$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = (\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} )\mathop |\nolimits_a^b $
CHÚ Ý
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho $x$. Chẳng hạn, nếu sử dụng chữ $t$, chữ $u$…làm biến số lấy tích phân thì
$\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt,} \int\limits_a^b {f\left( u \right)du,} $.. đều là một số và số đó bằng $F\left( b \right) - F\left( a \right)$.
ĐỊNH LÍ 1
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục, không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số$y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là
$S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
3. Tính chất của tích phân
ĐỊNH LÍ 2
Giả sử các hàm số $f, g$ liên tục trên $K$ và $a, b, c$, là ba số bất kì thuộc $K$. Khi đó ta có
1) $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0;$
2) $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
3) $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} $
4) $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^a {g\left( x \right)dx} $
5) $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $ với $k \in \mathbb{R}$
|