HÀM SỐ LUỸ THỪA

Quan tâm

Đưa vào sổ tay

1 Khái niệm hàm số luỹ thừa
Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng

${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{x}}^\alpha }$ , trong đó

$\alpha$ là một hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy
- Hàm số

${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{x}}^n}$ với n nguyên dương, xác định với mọi

$x \in \mathbb{R}$
- Hàm số

${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{x}}^n}$ , với n nguyên âm hoặc n = 0 , xác định với mọi

$x \ne 0$ .
- Hàm số

${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{x}}^\alpha }$ , với

$\alpha$ không nguyên , có tập xác định là tập hợp các số thực dương
Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
CHÚ Ý
Theo định nghĩa, đẳng thức

$\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}$ chỉ xảy ra nếu

$x > 0$ do đó, hàm số

$y = {x^{\frac{1}{n}}}$ không đồng nhất với hàm số

$y = \sqrt[n]{x}\,\,\,\,\,\,\,(n \in {\mathbb{N}^*})$ . Chẳng hạn, hàm số

$y = \sqrt[3]{x}$ là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi

$x \in \mathbb{R}$ ; còn hàm số luỹ thừa

$y = {x^{\frac{1}{3}}}$ chỉ xác định với mọi

$x > 0$ .
2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa
ĐỊNH LÍ
a) Hàm số luỹ thừa

${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{a}}^\alpha }$ (với

$\alpha \in \mathbb{R}$ )có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và

$\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
b) Nếu hàm số

${\text{u }} = {\text{ u}}\left( x \right)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số

${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{u}}^\alpha }\left( x \right)$ cũng có đạo hàm trên J và

$\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)' = \alpha {u^{\alpha - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)$
CHÚ Ý
a) Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây:

$\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}$
(với mọi x > 0 nếu n chẵn, với mọi

$x \ne 0$ nếu n lẻ)
b) Nếu

${\text{u }} = {\text{ u}}\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm trên J và thoả mãn điều kiện

${\text{u}}\left( x \right) > 0$ với mọi

$x \in J$ khi n chẵn,

${\text{u}}\left( x \right) \ne 0$ với mọi

$x \in J$ khi n lẻ thì

$\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}$ (với mọi

$x \in J$ )
Ví dụ :

$\left( {\sqrt[3]{{\sin 3x}}} \right)' = \frac{{\left( {\sin 3x} \right)'}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {\sin 3x} \right)}^2}}}}} = \frac{{c{\text{os}}3x}}{{\sqrt[3]{{{{\sin }^2}3x}}}}$
Nhận xét: Do

${1^\alpha } = 1$ với mọi

$\alpha$ nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm

$(1; 1)$

Thẻ

Hàm số mũ × 45

Lượt xem

19033

HÀM SỐ LUỸ THỪA

Liên quan