1 .Luỹ thừa với số mũ nguyên
a) Luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm
ĐỊNH NGHĨA 1
Với $a \ne 0,\,\,n = 0$ hoặc $n$ là một số nguyên âm, luỹ thừa bậc $n$ của a là số ${a^n}$ xác định bởi
${a^0} = 1,\,\,{a^n} = \frac{1}{{{a^{ - n}}}}$
Ví dụ 1: ${\left( { - 3} \right)^3} = \frac{1}{{{{\left( { - 3} \right)}^3}}} = - \frac{1}{{27}};\,{\left( { - \sqrt 2 } \right)^0} = 1$
CHÚ Ý
1) Các kí hiệu ${0^0},{0^n}$(n nguyên âm ) không có nghĩa .
2)Với $a \ne 0$và n nguyên , ta có ${a^n} = \frac{1}{{{a^{ - n}}}}$
3) Người ta thường dùng các luỹ thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những số rất bé.
b) Tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên
Quy tắc tính
ĐỊNH LÍ 1
Với $a \ne 0,\,\,b \ne 0$ và với các số nguyên $m , n$ ta có:
1) ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$ 2)$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n;}}$
3) ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}$ 4) ${\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}$
5) ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}$
So sánh các luỹ thừa
ĐỊNH LÍ 2
Cho $m , n$ là những số nguyên , khi đó
1) Với $a > 0$ thì ${a^m} > {a^n}$ khi và chỉ khi $m > n$
2) Với $0 < a < 1$ thì ${a^m} > {a^n}$ khi và chỉ khi $m < n$
Từ định lí 2 ta có
HỆ QUẢ 1
Với $0 < a < b$ và $m$ là số nguyên thì
1) ${a^m} < {b^m}$ khi và chỉ khi $m > 0$
2) ${a^m} > {b^m}$ khi và chỉ khi $m < 0$
HỆ QUẢ 2
Với $a < b$, $n$ là số tự nhiên lẻ thì ${a^n} < {b^n}$
HỆ QUẢ 3
Với $a, b$ là những số dương, $n$ là những số nguyên khác $0$ thì ${a^n} = {b^n}$ khi và chỉ khi $a = b$
2. Căn bậc $n$ và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
a) Căn bậc n
ĐỊNH NGHĨA 2
Với $n$ nguyên dương, căn bậc $n$ của số thực $a$ là số thực $b$ sao cho ${b^n} = a$
Ta thừa nhận hai khẳng định sau đây.
- Khi $n$ là số lẻ, mỗi số thực $a$ chỉ có một căn bậc hai $n$. Căn đó được kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$
- Khi $n$ là số chẵn, mỗi số thực dương $a$ có đúng hai căn bậc $n$ là hai số đối nhau. Căn có giá trị dương kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$(còn gọi là căn số học bậc $n$ của $a$), căn có giá trị âm kí hiệu là -$\sqrt[n]{a}$
Nhân xét
1) Căn bậc $1$ của số $a$ chính là $a $
2) Căn bậc $n$ của $0$ là $0 $.
3) Số âm không có căn bậc chẵn vì luỹ thừa bậc chẵn của một số thực bất kì là số không âm.
4) Với $n$ nguyên dương lẻ, ta có
$\sqrt[n]{a}> 0$ khi $a > 0$
$\sqrt[n]{a} < 0$ khi $a < 0$
$\begin{gathered}
\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{gathered}
a\,\,khi\,\,n\,\,le \\
\left| a \right|\,\,khi\,\,n\,\,chan \\
\end{gathered} \right. \\
\\
\end{gathered} $
Một số tính chất của căn bậc $n$
Từ các tính chất luỹ thừa số mũ nguyên dương ta có thể chứng minh được các tính chất sau:
Với hai số không âm $a , b $, hai số nguyên dương $m ,n $ và hai số nguyên $p , q$ tuỳ ý ta có
1) $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}$
2)$\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}(b > 0)$
3) $\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}(a > 0)$
4) $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}$
5) Nếu$\frac{p}{n} = \frac{q}{m}$ thì $\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}$(a > 0)
Đặc biệt $\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}$
b) Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
ĐỊNH NGHĨA 3
Cho a là một số thực dương và $r$ là một số hữu tỉ . Giả sử $r = \frac{m}{n}$, trong đó m là một số nguyên còn $n$ là một số nguyên dương . Khi đó , luỹ thừa của $a$ với số mũ $r$ là số ${a^r}$xác định bởi ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.
Nhận xét .
Từ tính chất 5) của căn bậc $n$ , ta suy ra rằng số ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}}$. Là xác định bởi , không phụ thuộc vào phân số $\frac{m}{n}$ biểu diễn số hữu tỉ $r$ , tức là nếu $r = \frac{m}{n} = \frac{{m'}}{{n'}}$ thì${a^{\frac{m}{n}}} = {a^{\frac{{m'}}{{n'}}}}$ . Do đó trong biểu thức ${a^r}$với $r$ là một số hữu tỉ ta thường viết $r$ dưới dạng phân số tối giản có mẫu dương.