1. Hàm số liên tục tại một điểm
         ĐN: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm ${x_0}$
Ví dụ 1:
a) Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \mathbb{R}$ vì :   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {x_0}^2 = f\left( {{x_0}} \right)$
b) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{x}\,\,\,(x \ne 0)  \\
  0\,\,\,\,(x = 0) \\
\end{gathered}  \right.$
 gián đoạn  tại điểm $x = 0$ vì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$   (h.4.10)
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
             ĐN: a) Giả  sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số $f$ liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
b) Hàm số $f$xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f\left( a \right),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f\left( b \right).$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
Giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vì với mọi ${x_0} \in \left( { - 1;1} \right)$ ta có   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}}  = \sqrt {1 - {x_0}^2}  = f\left( {{x_0}} \right)$
Nên hàm số $f$ liên tục trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$. Ngoài ra, ta có
                         $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( { - 1} \right)$
Và                     $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( 1 \right)$
Do đó, hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]\left( {h4.14} \right)$
 Nhận xét:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Định lí 1: Các hàm số lượng giác $y = \operatorname{s} {\text{inx}},\,y = \cos x,\,y = \tan x,\,y = \cot x$ liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
                 Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu $f\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ thì với mỗi số thực M nằm giữa $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = M$.
* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và M là một số thực nằm giữa $f\left( a \right)$và $f\left( b \right)$ thì đường thẳng $y = M$ cắt đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)\,\left( {h.4.15} \right).$
* Hệ quả: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và  $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.
* Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)$ (h.4.16)
 Ví dụ 4: Cho hàm số $P\left( x \right) = {x^3} + x - 1$
Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình $P\left( x \right) = 0$ có it nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải: Hàm số P liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],\,P\left( 0 \right) =  - 1,\,\,P\left( 1 \right) = 1$.
Vì $P\left( 0 \right)P\left( 1 \right) < 0$  nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $P\left( c \right) = 0.$
$x = c$ chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình $P\left( x \right) = 0$.

Chat chit và chém gió
  • Không Ai Cả: a hk học chuyên nhưng có nghiên cứu sâu về toán 9/18/2014 9:32:25 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: ??? 9/18/2014 9:33:28 PM
  • Không Ai Cả: a hỏi có việc gì hk ạ 9/18/2014 9:35:15 PM
  • PIG: em dịch choa "À Không học chuyên nhưng có nghiên cứu sâu về toán" 9/18/2014 9:35:22 PM
  • PIG: chuẩn chưa KAC :v 9/18/2014 9:35:34 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: @@ 9/18/2014 9:35:35 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: không. Hỏi thế thôi. A đang gõ đáp án 9/18/2014 9:35:45 PM
  • Không Ai Cả: ?? 9/18/2014 9:37:27 PM
  • Không Ai Cả: là sao mạnh 9/18/2014 9:37:29 PM
  • hey: sigh 9/18/2014 9:38:05 PM
  • Bão Táp: chị 9/18/2014 9:39:02 PM
  • hey: happy 9/18/2014 9:39:14 PM
  • hey: hok hành thế nào rùi 9/18/2014 9:39:25 PM
  • hey: happy 9/18/2014 9:39:27 PM
  • Bão Táp: vô danh ưi 9/18/2014 9:39:29 PM
  • Bão Táp: đợi tí chị sắp xong rùi nè 9/18/2014 9:39:36 PM
  • hey: chj đá 9/18/2014 9:39:58 PM
  • Không Ai Cả: nhiều người giúp vậy ta 9/18/2014 9:40:05 PM
  • Không Ai Cả: vui ^^ 9/18/2014 9:40:09 PM
  • Bão Táp: sao tế chị 9/18/2014 9:40:49 PM
  • PIG: cho link coi với Tùng 9/18/2014 9:42:13 PM
  • Không Ai Cả: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127165/giup-vs 9/18/2014 9:42:24 PM
  • Bão Táp: cryingcrying 9/18/2014 9:42:30 PM
  • Bão Táp: chị bị ngộ nhận 9/18/2014 9:42:39 PM
  • Bão Táp: toi mấy tờ giấy nháp 9/18/2014 9:42:48 PM
  • Bão Táp: crying 9/18/2014 9:42:53 PM
  • Không Ai Cả:9/18/2014 9:43:00 PM
  • PIG: Toán hình à ! Xin Lui -_- 9/18/2014 9:43:12 PM
  • Không Ai Cả: mỗi lần sai là một lần rút kinh nghiệm thôi mà c 9/18/2014 9:43:15 PM
  • Bão Táp: ukm 9/18/2014 9:43:35 PM
  • hey: sad 9/18/2014 9:44:16 PM
  • Bão Táp: c2 hok hình đỉnh quá lên c3 bị lượng giác cuốn hút hình hơi bị đi xuống 9/18/2014 9:44:34 PM
  • Bão Táp: crying 9/18/2014 9:44:40 PM
  • Bão Táp: chị hey chị đá cía gì 9/18/2014 9:44:47 PM
  • Không Ai Cả: xong chưa a tờ ơi 9/18/2014 9:45:52 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: gõ vecto lâu qá e ơi 9/18/2014 9:46:03 PM
  • PIG: sigh 9/18/2014 9:46:04 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: mấy cái kia a thuộc 9/18/2014 9:46:13 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: chứ latex vecto thì chịu :3 9/18/2014 9:46:23 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: xong 9/18/2014 9:46:52 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: nhưng lỡ lỗi một xíu 9/18/2014 9:46:57 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: nhóc dịch được thì dịch 9/18/2014 9:47:05 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: chị đi đây 9/18/2014 9:47:10 PM
  • hey: hả chj có làm đâu 9/18/2014 9:47:16 PM
  • Bão Táp:9/18/2014 9:47:21 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: k đứa nào dưới 3k được phép sửa bài chị đâu đó 9/18/2014 9:47:55 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: đứa này 9/18/2014 9:48:32 PM
  • Không Ai Cả: ôi mẹ ơi 9/18/2014 9:48:36 PM
  • hey: laughing 9/18/2014 9:48:50 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: chỉnh được chỉnh đi. ông hơn 3k nên t sửa lại được. mấy đứa kia dưới 3k mà động vào bài t t uýnh đứa đó. 9/18/2014 9:49:45 PM
  • nthuyhang2: giúp mk phần c vs các bạn http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127166/rut-gon 9/18/2014 9:49:59 PM
  • Bão Táp: e 9/18/2014 9:50:05 PM
  • PIG: cứ dư này thì oẳng hết lượt với chụy gió -_- 9/18/2014 9:50:18 PM
  • Bão Táp: e động vô nhớ 9/18/2014 9:50:20 PM
  • hey: á panda này 9/18/2014 9:51:12 PM
  • Không Ai Cả: uýnh được sao 9/18/2014 9:51:24 PM
  • hey: câu lg giác pit ngay sai mà 9/18/2014 9:51:27 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: t k sửa lại được thì đứa động vô bài t die trước. h t đi làm bài của t. mấy người mún làm gì thì làm. miễn sao t sửa lại được mà k cần ad duyệt bản quyền. 9/18/2014 9:51:43 PM
  • Bão Táp: nthuyhang2: cái bài đó dễ mừ 9/18/2014 9:52:32 PM
  • Bão Táp: sao k tự lm đi 9/18/2014 9:52:37 PM
  • Không Ai Cả: a tờ oi 9/18/2014 9:52:53 PM
  • Không Ai Cả: c kia làm e chả hiu gì cả 9/18/2014 9:52:59 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: a làm rồi đó 9/18/2014 9:53:38 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: @@ 9/18/2014 9:53:52 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: treo thưởng chi zậy 9/18/2014 9:53:57 PM
  • Không Ai Cả: e treo chơi thui 9/18/2014 9:56:41 PM
  • Không Ai Cả: hì hì 9/18/2014 9:56:44 PM
  • hey: sao jơ hok tại nhà chán quá 9/18/2014 9:57:51 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: ukm happy 9/18/2014 9:57:52 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: chứ khi nào zui? 9/18/2014 9:58:08 PM
  • hey: tui thấy chả sôi nổi như các bên trag khác á 9/18/2014 9:58:30 PM
  • Bão Táp: sleepy 9/18/2014 9:58:34 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: trang nào sôi nổi 9/18/2014 9:58:49 PM
  • Bão Táp: fb zalo beetalk 9/18/2014 9:59:16 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: @@ 9/18/2014 9:59:20 PM
  • Không Ai Cả: QQ 9/18/2014 9:59:27 PM
  • Không Ai Cả: skype 9/18/2014 9:59:29 PM
  • Bão Táp: v spier 9/18/2014 9:59:40 PM
  • Bão Táp: vv 9/18/2014 9:59:48 PM
  • Không Ai Cả: chuẩn 9/18/2014 9:59:48 PM
  • Không Ai Cả: so on 9/18/2014 9:59:52 PM
  • hey: oh 10 h rồi 9/18/2014 9:59:59 PM
  • hey: m.n ngủ ngon nhá 9/18/2014 10:00:06 PM
  • hey: happy 9/18/2014 10:00:11 PM
  • hey: yawn 9/18/2014 10:00:14 PM
  • Bão Táp: sleepywave 9/18/2014 10:00:38 PM
  • Không Ai Cả: 10h đã ngủ @@ 9/18/2014 10:03:11 PM
  • PIG: sleepy 9/18/2014 10:03:12 PM
  • Không Ai Cả: mạnh 9/18/2014 10:03:22 PM
  • Không Ai Cả: có bài đaiạ này ông có làm không 9/18/2014 10:03:28 PM
  • Bão Táp: k ôm zaloo fb chém 9/18/2014 10:04:07 PM
  • Bão Táp: devil 9/18/2014 10:06:18 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: ông sắp về 10k như cũ oài kìa 9/18/2014 10:10:29 PM
  • Không Ai Cả: c nói ai zở 9/18/2014 10:10:46 PM
  • nthuyhang2: bạn bão táp, mk lm đk phần a vs phần b rùi, mk còn phần c nữa thui, giúp mk vs đk k??? 9/18/2014 10:11:05 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: còn ai onl ko 9/18/2014 10:12:47 PM
  • Bão Táp: yawn 9/18/2014 10:13:00 PM
  • nthuyhang2: bạn bão táp ơi lm cho mk phần c đi 9/18/2014 10:13:34 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: Mọi người ngủ ngon :v. Tới giờ tắt máy :3 9/18/2014 10:14:44 PM
  • Bão Táp: thumbs_upwaverose 9/18/2014 10:15:26 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • :
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Hòn Sỏi Buồn
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ★.★Hoàng Huy★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • nthuyhang2
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • ndanh9999999