1. Hàm số liên tục tại một điểm
         ĐN: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm ${x_0}$
Ví dụ 1:
a) Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \mathbb{R}$ vì :   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {x_0}^2 = f\left( {{x_0}} \right)$
b) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{x}\,\,\,(x \ne 0)  \\
  0\,\,\,\,(x = 0) \\
\end{gathered}  \right.$
 gián đoạn  tại điểm $x = 0$ vì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$   (h.4.10)
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
             ĐN: a) Giả  sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số $f$ liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
b) Hàm số $f$xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f\left( a \right),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f\left( b \right).$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
Giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vì với mọi ${x_0} \in \left( { - 1;1} \right)$ ta có   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}}  = \sqrt {1 - {x_0}^2}  = f\left( {{x_0}} \right)$
Nên hàm số $f$ liên tục trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$. Ngoài ra, ta có
                         $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( { - 1} \right)$
Và                     $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( 1 \right)$
Do đó, hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]\left( {h4.14} \right)$
 Nhận xét:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Định lí 1: Các hàm số lượng giác $y = \operatorname{s} {\text{inx}},\,y = \cos x,\,y = \tan x,\,y = \cot x$ liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
                 Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu $f\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ thì với mỗi số thực M nằm giữa $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = M$.
* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và M là một số thực nằm giữa $f\left( a \right)$và $f\left( b \right)$ thì đường thẳng $y = M$ cắt đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)\,\left( {h.4.15} \right).$
* Hệ quả: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và  $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.
* Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)$ (h.4.16)
 Ví dụ 4: Cho hàm số $P\left( x \right) = {x^3} + x - 1$
Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình $P\left( x \right) = 0$ có it nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải: Hàm số P liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],\,P\left( 0 \right) =  - 1,\,\,P\left( 1 \right) = 1$.
Vì $P\left( 0 \right)P\left( 1 \right) < 0$  nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $P\left( c \right) = 0.$
$x = c$ chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình $P\left( x \right) = 0$.

Chat chit và chém gió
  • chiến thần kassadin: c cưa ngủ à 7/22/2014 1:03:52 AM
  • chiến thần kassadin: chưa 7/22/2014 1:03:58 AM
  • inh_anchi: khiếp trên này toàn vợ với chồng 7/22/2014 7:34:30 AM
  • thukiet1979: chào chiến thần kassadin! 7/22/2014 1:43:38 PM
  • thukiet1979: talk_to_the_hand 7/22/2014 1:43:55 PM
  • Không Ai Cả: ô lâu quá hk vào lại đọc được những dòng này có ai giải thích cho mình được hk 7/22/2014 2:30:02 PM
  • soidayeuthuong_19: hi 7/22/2014 3:54:19 PM
  • soidayeuthuong_19: co ban nao biet lam xac suat thogn ke ko giup minh voi 7/22/2014 4:06:15 PM
  • sungyoungnguyen: giải giúp mình với TTvTT http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/126228/pt-bac-hai-theo-mot-hslg mình cảm ơn 7/22/2014 6:36:33 PM
  • Rainy: laughing 7/22/2014 7:29:19 PM
  • inh_anchi: hj 7/22/2014 7:41:26 PM
  • Rainy: hi onchay^^ 7/22/2014 7:41:58 PM
  • inh_anchi: ủa 7/22/2014 7:42:05 PM
  • inh_anchi: sao lại nhớ mình vậy 7/22/2014 7:42:20 PM
  • inh_anchi: Dương Quỳnh à 7/22/2014 7:42:59 PM
  • Rainy: sad 7/22/2014 7:43:05 PM
  • Rainy: Lâm Quỳnh mà 7/22/2014 7:43:10 PM
  • inh_anchi: nhầm 7/22/2014 7:43:15 PM
  • Rainy: nhưng m *suỵt* 7/22/2014 7:43:21 PM
  • Rainy: rainy thôi nhé 7/22/2014 7:43:27 PM
  • inh_anchi: sao thế 7/22/2014 7:43:37 PM
  • Rainy: à, t là vk gió, nên đổi thành mưa big_grin 7/22/2014 7:44:22 PM
  • Rainy: cứ gọi mưa đi big_grin 7/22/2014 7:44:32 PM
  • inh_anchi: windysao 7/22/2014 7:44:47 PM
  • inh_anchi: mưa đâu rồi 7/22/2014 7:47:33 PM
  • inh_anchi: thôi bye nha 7/22/2014 7:47:43 PM
  • Rainy: ừ bye 7/22/2014 7:48:04 PM
  • diendien_01: alo 7/22/2014 8:48:43 PM
  • Windy: big_grin 7/22/2014 8:49:00 PM
  • Windy: e chào a! 7/22/2014 8:49:04 PM
  • diendien_01: ko học mà online tối ngày 7/22/2014 8:49:11 PM
  • diendien_01: chào em 7/22/2014 8:49:15 PM
  • Windy: haizz 7/22/2014 8:49:16 PM
  • Windy: hnay e lên đây để tìm gia sư dạy lí đây 7/22/2014 8:49:45 PM
  • Windy: e dốt lí lắm r 7/22/2014 8:50:01 PM
  • Windy: hic 7/22/2014 8:50:04 PM
  • Windy: sad 7/22/2014 8:50:07 PM
  • diendien_01: làm gì có ai dốt 7/22/2014 8:50:54 PM
  • diendien_01: chỉ là biết nhiều biết ít, biết trước biết sau thôi 7/22/2014 8:51:49 PM
  • Windy: sigh 7/22/2014 8:52:00 PM
  • Windy: nói chung cứ học lí là đầu óc e cứ dối tung hết cả lên í 7/22/2014 8:54:05 PM
  • diendien_01: ha ha 7/22/2014 8:54:21 PM
  • diendien_01: môn đó khó học và cũng khó dạy 7/22/2014 8:54:28 PM
  • Windy: e chả biết nói sao nữa, tóm lại e học kém môn này 7/22/2014 8:54:33 PM
  • diendien_01: tại cách giáo dục ở VN ko đồng bộ 7/22/2014 8:54:47 PM
  • diendien_01: để hiểu được bản chất vật lý thì toán cần phải đi trước thêm một bước nữa 7/22/2014 8:55:10 PM
  • Windy: vậy nếu toán k đi trc đc thì lí...worried 7/22/2014 8:56:19 PM
  • diendien_01: thì em đành phải chấp nhận một số khái niệm thôi 7/22/2014 8:56:53 PM
  • Windy: phần chứng minh công thức và khái niệm thì k vấn đề j 7/22/2014 8:58:01 PM
  • Windy: vấn đề là ở chỗ, khi cô giáo chữa bài tập hay hướng dẫn làm bài thì e hiểu,nhưng mà nếu để tự e làm thì...còn lâu mới ra kqua 7/22/2014 8:59:14 PM
  • Windy: sad 7/22/2014 8:59:33 PM
  • diendien_01: điều đó chứng tỏ em chưa hiểu bản chất vấn đề 7/22/2014 8:59:51 PM
  • Windy: vậy ạ 7/22/2014 9:00:19 PM
  • Windy: vậy có cách nào để cải thiện tình trạng này k ạsadworried 7/22/2014 9:01:47 PM
  • diendien_01: có 2 cách học lý chính 7/22/2014 9:02:54 PM
  • diendien_01: c1: học hiểu lý thuyết rồi ra vận dụng bài tập cách này cho người thông minh, tư duy suy luận tốt 7/22/2014 9:03:30 PM
  • diendien_01: c2: làm nhiều bài tập rồi quay lại hiểu lại lý thuyết, cách này cho người chăm chỉ 7/22/2014 9:04:11 PM
  • diendien_01: vào vote đi http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/126228/pt-bac-hai-theo-mot-hslg/26361#26361 7/22/2014 9:05:33 PM
  • Windy: vâng ạ!e cám ơn a!^^ 7/22/2014 9:06:32 PM
  • diendien_01: em năm này lên 11, thì còn 2 năm nữa để chiến đấu 7/22/2014 9:06:56 PM
  • Windy: vâng ! 7/22/2014 9:12:59 PM
  • Rainy: uồi ôi 7/22/2014 9:23:02 PM
  • Rainy: kaka giúp e với T_T 7/22/2014 9:23:25 PM
  • Rainy: gió ơi đi đâu mất r? 7/22/2014 9:26:29 PM
  • diendien_01: chán quá 7/22/2014 9:35:41 PM
  • diendien_01: trời mưa rồi 7/22/2014 9:35:44 PM
  • Rainy: big_grin 7/22/2014 9:38:27 PM
  • Rainy: kaka 7/22/2014 9:38:31 PM
  • Rainy: crying 7/22/2014 9:43:20 PM
  • Rainy: đi đâu hết thế ạ 7/22/2014 9:43:26 PM
  • Rainy: sad 7/22/2014 9:49:26 PM
  • diendien_01: ? 7/22/2014 10:02:21 PM
  • Rainy: đại ca 7/22/2014 10:02:40 PM
  • Rainy: giúp e 7/22/2014 10:02:42 PM
  • Rainy: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/126230/giup-em-voi-t-t 7/22/2014 10:02:44 PM
  • diendien_01: sao lại có bài toán gì mà chứng minh ko có số nguyên tố lớn nhất 7/22/2014 10:02:45 PM
  • Rainy: e có biết đâu 7/22/2014 10:03:05 PM
  • diendien_01: em nghĩ ra hay ai cho 7/22/2014 10:03:09 PM
  • Rainy: thầy ra đề thế T_T 7/22/2014 10:03:14 PM
  • diendien_01: tập số tự nhiên là tập số vô hạn 7/22/2014 10:03:52 PM
  • diendien_01: mà số nguyên tố nằm trong tập số tự nhiên 7/22/2014 10:04:08 PM
  • diendien_01: tập số tự nhiên = tập số nguyên tố + tập hợp số 7/22/2014 10:04:32 PM
  • diendien_01: câu này chỉ đố chơi thôi 7/22/2014 10:04:54 PM
  • diendien_01: chứ ko ai đi đố câu đố đó cả 7/22/2014 10:05:04 PM
  • Rainy: T_T 7/22/2014 10:08:32 PM
  • Rainy: tối nay chỉ một mình mưa sad 7/22/2014 10:25:46 PM
  • Rainy: rơi... 7/22/2014 10:25:52 PM
  • Rainy: rơi... 7/22/2014 10:25:56 PM
  • Rainy: rơi... 7/22/2014 10:25:59 PM
  • diendien_01: ko có ai à 7/22/2014 10:51:57 PM
  • Rainy: e vẫn thức yawn 7/22/2014 10:52:24 PM
  • diendien_01: sao ko học à 7/22/2014 10:58:17 PM
  • Rainy: đang học ạ 7/22/2014 10:59:40 PM
  • diendien_01: học mà vẫn ôm máy tính 7/22/2014 11:00:18 PM
  • diendien_01: hay vậy? 7/22/2014 11:00:21 PM
  • Rainy: vâng big_grin 7/22/2014 11:00:59 PM
  • Rainy: quen r ạ big_grin 7/22/2014 11:01:04 PM
  • jea¤¤student: happy 7/22/2014 11:42:47 PM
  • inh_anchi: hj 7/23/2014 7:03:18 AM
  • CS-K41-PBC: 2222222 lau roi ko vao co ai ko 7/23/2014 3:44:47 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • trymybest123456789
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • jea¤¤student
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart97
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Rainy
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ♥♥Hoàng Huy♥♥
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • soidayeuthuong_19