1. Hàm số liên tục tại một điểm
         ĐN: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm ${x_0}$
Ví dụ 1:
a) Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \mathbb{R}$ vì :   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {x_0}^2 = f\left( {{x_0}} \right)$
b) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{x}\,\,\,(x \ne 0)  \\
  0\,\,\,\,(x = 0) \\
\end{gathered}  \right.$
 gián đoạn  tại điểm $x = 0$ vì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$   (h.4.10)
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
             ĐN: a) Giả  sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số $f$ liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
b) Hàm số $f$xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f\left( a \right),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f\left( b \right).$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
Giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vì với mọi ${x_0} \in \left( { - 1;1} \right)$ ta có   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}}  = \sqrt {1 - {x_0}^2}  = f\left( {{x_0}} \right)$
Nên hàm số $f$ liên tục trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$. Ngoài ra, ta có
                         $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( { - 1} \right)$
Và                     $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( 1 \right)$
Do đó, hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]\left( {h4.14} \right)$
 Nhận xét:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Định lí 1: Các hàm số lượng giác $y = \operatorname{s} {\text{inx}},\,y = \cos x,\,y = \tan x,\,y = \cot x$ liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
                 Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu $f\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ thì với mỗi số thực M nằm giữa $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = M$.
* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và M là một số thực nằm giữa $f\left( a \right)$và $f\left( b \right)$ thì đường thẳng $y = M$ cắt đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)\,\left( {h.4.15} \right).$
* Hệ quả: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và  $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.
* Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)$ (h.4.16)
 Ví dụ 4: Cho hàm số $P\left( x \right) = {x^3} + x - 1$
Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình $P\left( x \right) = 0$ có it nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải: Hàm số P liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],\,P\left( 0 \right) =  - 1,\,\,P\left( 1 \right) = 1$.
Vì $P\left( 0 \right)P\left( 1 \right) < 0$  nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $P\left( c \right) = 0.$
$x = c$ chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình $P\left( x \right) = 0$.

Chat chit và chém gió
  • Min Tồ: c định 8/1/2014 11:51:12 PM
  • Windy: chị mà là chúa á 8/1/2014 11:51:13 PM
  • Min Tồ: c định XIN PHÉP jea r mới dám nc ở đây 8/1/2014 11:51:28 PM
  • Windy: tát người ta k tiếc tay mà lại còn,,, 8/1/2014 11:51:32 PM
  • Min Tồ: cơ mà ko thấy người đâu 8/1/2014 11:51:35 PM
  • Windy: ồ ồ 8/1/2014 11:51:39 PM
  • Min Tồ: lày nhá 8/1/2014 11:51:43 PM
  • Windy: phải xin phép nữa á 8/1/2014 11:51:48 PM
  • Min Tồ: đc c tát là có phúc nữa đấy 8/1/2014 11:51:55 PM
  • Min Tồ: tay ngọc tay ngà 8/1/2014 11:52:01 PM
  • Min Tồ: cool 8/1/2014 11:52:02 PM
  • Windy: ờ hờ hờ 8/1/2014 11:52:09 PM
  • Windy: thế mà sao e cảm nhận thấy 8/1/2014 11:52:20 PM
  • Windy: nó thô thô thế nào írolling_on_the_floor 8/1/2014 11:52:30 PM
  • Min Tồ: hẳn là thô ngay cả khi chưa có diễm phúc chạm nhẹ vào nó 8/1/2014 11:53:10 PM
  • Min Tồ: oh_go_on 8/1/2014 11:53:17 PM
  • Windy: :3 8/1/2014 11:53:25 PM
  • jea¤¤student: xàm 8/1/2014 11:53:55 PM
  • Min Tồ: chắc xàm nerd 8/1/2014 11:54:37 PM
  • Min Tồ: mà jea này 8/1/2014 11:54:41 PM
  • Min Tồ: t đc phép ns r chứ 8/1/2014 11:54:52 PM
  • Min Tồ: lúc này chưa có cảm hứng để im 8/1/2014 11:55:11 PM
  • Windy: yawn 8/1/2014 11:56:22 PM
  • Min Tồ: em không tồn tại crying crying crying 8/1/2014 11:56:38 PM
  • Windy: ??/ 8/1/2014 11:57:19 PM
  • Min Tồ: chị.... crying 8/1/2014 11:57:50 PM
  • Windy: là thao?chị? 8/1/2014 11:58:04 PM
  • Min Tồ: c yêu anh Soobin crying 8/1/2014 11:58:09 PM
  • Windy: :3 8/1/2014 11:58:16 PM
  • Windy: e yêu roai bóng rổ 8/1/2014 11:58:29 PM
  • Windy: í hí hí 8/1/2014 11:58:32 PM
  • Min Tồ: anh ý hát hay lắm lắm í 8/1/2014 11:58:37 PM
  • Min Tồ: crying 8/1/2014 11:58:38 PM
  • Min Tồ: bóng rổ à laughing 8/1/2014 11:58:47 PM
  • Min Tồ: chắc 8/1/2014 11:58:49 PM
  • Min Tồ: chị 8/1/2014 11:58:52 PM
  • Min Tồ: đứng chưa đến vai họ 8/1/2014 11:59:00 PM
  • Min Tồ: rolling_on_the_floor 8/1/2014 11:59:03 PM
  • Min Tồ: chắc đến eo thôi 8/1/2014 11:59:09 PM
  • Min Tồ: -_- 8/1/2014 11:59:12 PM
  • Windy: e cũng có khác j đâu ==' 8/1/2014 11:59:17 PM
  • Windy: mà sao 8/1/2014 11:59:19 PM
  • Windy: tự dưng 8/1/2014 11:59:22 PM
  • Windy: chị nhắc chiều cao làm chi 8/1/2014 11:59:29 PM
  • Windy: tụt hết cả cảm xúc 8/1/2014 11:59:37 PM
  • Windy: -_- 8/1/2014 11:59:40 PM
  • Min Tồ: hế hế 8/1/2014 11:59:43 PM
  • Min Tồ: kệ chứ 8/1/2014 11:59:49 PM
  • Min Tồ: c vẫn tự tin lắm cool 8/1/2014 11:59:55 PM
  • Min Tồ: nc vs cnó 8/1/2014 11:59:59 PM
  • Min Tồ: chả ai 8/2/2014 12:00:00 AM
  • Min Tồ: dám 8/2/2014 12:00:01 AM
  • Min Tồ: vênh mặt vs mình 8/2/2014 12:00:06 AM
  • Min Tồ: cool 8/2/2014 12:00:08 AM
  • Min Tồ: c toàn vênh mặt lên nc thôi 8/2/2014 12:00:14 AM
  • Windy: chuẩnlaughing 8/2/2014 12:00:17 AM
  • Windy: cơ mà 8/2/2014 12:00:34 AM
  • Windy: dạo này 8/2/2014 12:00:37 AM
  • Windy: e hơi bị cuồn mấy a chơi bóng rổ nhá 8/2/2014 12:00:51 AM
  • Windy: bị cuồng mất r 8/2/2014 12:00:57 AM
  • Min Tồ: ừ thì cuồng sad 8/2/2014 12:01:01 AM
  • Windy: blushing 8/2/2014 12:01:02 AM
  • Min Tồ: c chả ham hố 8/2/2014 12:01:07 AM
  • Windy: yawn 8/2/2014 12:01:45 AM
  • Windy: hầy 8/2/2014 12:01:48 AM
  • Min Tồ: say you love me 8/2/2014 12:02:13 AM
  • Min Tồ: i love to be love 8/2/2014 12:02:19 AM
  • Min Tồ: nhố nhố 8/2/2014 12:02:22 AM
  • Min Tồ: e buồn ngụ à 8/2/2014 12:02:27 AM
  • Windy: vâng 8/2/2014 12:02:34 AM
  • Windy: dạo này 8/2/2014 12:02:36 AM
  • Windy: e k thể cưỡng lại nổi sức hút từ... 8/2/2014 12:02:55 AM
  • Windy: thế nên 8/2/2014 12:03:00 AM
  • Windy: yawn 8/2/2014 12:03:05 AM
  • Min Tồ: haiz 8/2/2014 12:03:15 AM
  • Min Tồ: vỗ vai thông cảm 8/2/2014 12:03:22 AM
  • Min Tồ: thế e ngủ đo,hơn 12h r 8/2/2014 12:03:30 AM
  • Min Tồ: lát c ngủ sau :/ 8/2/2014 12:03:37 AM
  • Windy: vâng 8/2/2014 12:03:53 AM
  • Windy: chị nhớ lát ngủ đó 8/2/2014 12:04:01 AM
  • Min Tồ: everything oke 8/2/2014 12:04:07 AM
  • Min Tồ: à ừ 8/2/2014 12:04:09 AM
  • Windy: ngủ muộn hoài 8/2/2014 12:04:12 AM
  • Min Tồ: c sẽ ngủ 8/2/2014 12:04:12 AM
  • Min Tồ: mai c phải học mà 8/2/2014 12:04:15 AM
  • Min Tồ: big_grin 8/2/2014 12:04:17 AM
  • Min Tồ: k ngủ sao sống 8/2/2014 12:04:22 AM
  • Windy: big_grin 8/2/2014 12:04:26 AM
  • Windy: túc tị ngủ ngoăn 8/2/2014 12:04:54 AM
  • Windy: big_hug 8/2/2014 12:05:05 AM
  • Min Tồ: tị là cái gì -_- bị nhịu hồi nào đấy 8/2/2014 12:05:38 AM
  • Min Tồ: bỏ lại sau lưng tất cả 8/2/2014 12:05:49 AM
  • Windy: e ngủ đây 8/2/2014 12:06:19 AM
  • Windy: bye c 8/2/2014 12:06:22 AM
  • Min Tồ: ừ 8/2/2014 12:07:09 AM
  • Min Tồ: ngủ ngoan e 8/2/2014 12:07:13 AM
  • Min Tồ: big_hug 8/2/2014 12:07:17 AM
  • Min Tồ: con hâm lại lủi thủi 1 mình -_- 8/2/2014 12:12:04 AM
  • Min Tồ: ________giờ hoàng đạo. ngủ nào người còn onl ____________ 8/2/2014 12:56:57 AM
  • ♥ckcủacongáiMAFIA♥: có ai onl ko 8/2/2014 7:48:38 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • trymybest123456789
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • jea¤¤student
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart97
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Mưa Mong Manh
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ♥♥Hoàng Huy♥♥
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22