1. Hàm số liên tục tại một điểm
         ĐN: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm ${x_0}$
Ví dụ 1:
a) Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \mathbb{R}$ vì :   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {x_0}^2 = f\left( {{x_0}} \right)$
b) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{x}\,\,\,(x \ne 0)  \\
  0\,\,\,\,(x = 0) \\
\end{gathered}  \right.$
 gián đoạn  tại điểm $x = 0$ vì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$   (h.4.10)
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
             ĐN: a) Giả  sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số $f$ liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
b) Hàm số $f$xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f\left( a \right),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f\left( b \right).$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
Giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vì với mọi ${x_0} \in \left( { - 1;1} \right)$ ta có   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}}  = \sqrt {1 - {x_0}^2}  = f\left( {{x_0}} \right)$
Nên hàm số $f$ liên tục trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$. Ngoài ra, ta có
                         $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( { - 1} \right)$
Và                     $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( 1 \right)$
Do đó, hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]\left( {h4.14} \right)$
 Nhận xét:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Định lí 1: Các hàm số lượng giác $y = \operatorname{s} {\text{inx}},\,y = \cos x,\,y = \tan x,\,y = \cot x$ liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
                 Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu $f\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ thì với mỗi số thực M nằm giữa $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = M$.
* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và M là một số thực nằm giữa $f\left( a \right)$và $f\left( b \right)$ thì đường thẳng $y = M$ cắt đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)\,\left( {h.4.15} \right).$
* Hệ quả: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và  $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.
* Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)$ (h.4.16)
 Ví dụ 4: Cho hàm số $P\left( x \right) = {x^3} + x - 1$
Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình $P\left( x \right) = 0$ có it nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải: Hàm số P liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],\,P\left( 0 \right) =  - 1,\,\,P\left( 1 \right) = 1$.
Vì $P\left( 0 \right)P\left( 1 \right) < 0$  nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $P\left( c \right) = 0.$
$x = c$ chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình $P\left( x \right) = 0$.

Chat chit và chém gió
  • leviettung01:1/25/2015 11:37:45 PM
  • leviettung01: t nhờ th bn 1/25/2015 11:37:52 PM
  • ღKhờღ: ừm 1/25/2015 11:38:00 PM
  • leviettung01: nó up cn nó up lun cn t 1/25/2015 11:38:05 PM
  • ღKhờღ: xu army 1 thì tao bán 1/25/2015 11:38:09 PM
  • ღKhờღ: xu army 2 thì tao mua laughing 1/25/2015 11:38:17 PM
  • leviettung01:1/25/2015 11:38:29 PM
  • ღKhờღ: khi đó cầm >5tr xu army 2 1/25/2015 11:38:32 PM
  • leviettung01: mày nhớ nick mày ko 1/25/2015 11:38:45 PM
  • ღKhờღ: mua full đồ full ngọc xong đi dọa người 1/25/2015 11:38:45 PM
  • ღKhờღ: mở map halowen ra tên trận 1/25/2015 11:38:58 PM
  • leviettung01: mai t vô choi 1/25/2015 11:39:05 PM
  • ღKhờღ: chấp cả họ ck vs proton 1/25/2015 11:39:08 PM
  • leviettung01: lâu ko chơi 1/25/2015 11:39:13 PM
  • ღKhờღ: ừm 1/25/2015 11:39:20 PM
  • ღKhờღ: tao h éo có máy chơi nữa :v 1/25/2015 11:39:29 PM
  • ღKhờღ: ra tết chắc mới có máy 1/25/2015 11:39:36 PM
  • leviettung01: máy tính mầy 1/25/2015 11:39:52 PM
  • ღKhờღ: nhác cài 1/25/2015 11:40:02 PM
  • leviettung01: ib cn mày qua đi 1/25/2015 11:40:09 PM
  • leviettung01: t hồi chơi 1/25/2015 11:40:15 PM
  • ღKhờღ: không có nữa 1/25/2015 11:40:19 PM
  • leviettung01: vc 1/25/2015 11:40:23 PM
  • ღKhờღ: :v 1/25/2015 11:40:24 PM
  • ღKhờღ: lâu rồi 1/25/2015 11:40:27 PM
  • ღKhờღ: mày nghĩ tao để à 1/25/2015 11:40:34 PM
  • ღKhờღ: laughing 1/25/2015 11:40:36 PM
  • leviettung01: t còn 1 cn nhưng kui qua 1/25/2015 11:40:38 PM
  • leviettung01: có tz lv 13 và cj 1/25/2015 11:40:51 PM
  • ღKhờღ: tau h ko có máy 1/25/2015 11:40:51 PM
  • leviettung01: ck lv 4 1/25/2015 11:40:59 PM
  • ღKhờღ: cái sim đăng kí mất đâu r 1/25/2015 11:41:00 PM
  • ღKhờღ: bữa tao cho th trong lớp 1/25/2015 11:41:05 PM
  • leviettung01: ukm 1/25/2015 11:41:14 PM
  • ღKhờღ: mà h không biết sao 1/25/2015 11:41:15 PM
  • ღKhờღ: để mai lên hỏi 1/25/2015 11:41:18 PM
  • leviettung01: ukm 1/25/2015 11:41:25 PM
  • leviettung01: ê mày 1/25/2015 11:41:37 PM
  • ღKhờღ: / 1/25/2015 11:42:01 PM
  • ღKhờღ: ? 1/25/2015 11:42:03 PM
  • leviettung01: sang fb đi 1/25/2015 11:42:25 PM
  • ღKhờღ: làm gì 1/25/2015 11:42:42 PM
  • leviettung01: đây mn dđánh giá 1/25/2015 11:42:54 PM
  • ღKhờღ: i don't care 1/25/2015 11:43:11 PM
  • leviettung01: t đang nt vs na nãy h 1/25/2015 11:43:29 PM
  • ღKhờღ: ừm 1/25/2015 11:43:36 PM
  • ღKhờღ: nc gì thế 1/25/2015 11:43:42 PM
  • leviettung01: nó bảo thức cùng ta mày à 1/25/2015 11:43:50 PM
  • ღKhờღ: ừm 1/25/2015 11:44:25 PM
  • leviettung01: sang t lập nhóm 1/25/2015 11:45:10 PM
  • leviettung01: chat cho vui 1/25/2015 11:45:15 PM
  • ღKhờღ: thôi 1/25/2015 11:45:21 PM
  • ღKhờღ: đừng lập 1/25/2015 11:45:23 PM
  • ღKhờღ: t không vào đâu 1/25/2015 11:45:25 PM
  • ღKhờღ: t không thích chat nhóm làm mấy 1/25/2015 11:45:34 PM
  • leviettung01: ukm 1/25/2015 11:45:46 PM
  • leviettung01: nhưng t vs m ở đây 1/25/2015 11:45:55 PM
  • leviettung01: chả có chi ns nựa nà 1/25/2015 11:46:05 PM
  • leviettung01: m có chi ns ko 1/25/2015 11:46:12 PM
  • ღKhờღ: không laughing 1/25/2015 11:46:48 PM
  • ღKhờღ: đói bm 1/25/2015 11:46:51 PM
  • ღKhờღ: thôi tao thoát đây 1/25/2015 11:48:15 PM
  • ღKhờღ: pipi 1/25/2015 11:48:15 PM
  • leviettung01: ê 1/25/2015 11:49:27 PM
  • leviettung01: mày eo thức vs t à 1/25/2015 11:49:36 PM
  • leviettung01: vãi 1/25/2015 11:49:43 PM
  • leviettung01: pp nha 1/25/2015 11:49:51 PM
  • leviettung01: húhus 1/26/2015 12:30:13 AM
  • ღKhờღ: ngủ dee 1/26/2015 12:30:21 AM
  • leviettung01: mk là ng thức khuya nhất laughing 1/26/2015 12:30:26 AM
  • ღKhờღ: ghê 1/26/2015 12:30:32 AM
  • leviettung01: cút đi m 1/26/2015 12:30:38 AM
  • leviettung01: để t còn......... 1/26/2015 12:30:46 AM
  • ღKhờღ: éo :v 1/26/2015 12:30:48 AM
  • leviettung01: mà m lên đây lm gì 1/26/2015 12:31:01 AM
  • leviettung01: tau quay cái đạ laughing 1/26/2015 12:31:23 AM
  • ღKhờღ: laughing 1/26/2015 12:31:34 AM
  • leviettung01: pha mi tôm 1/26/2015 12:31:36 AM
  • leviettung01: ăn 1/26/2015 12:31:40 AM
  • ღKhờღ: lên hóng xem có th cờ hó nào lên k 1/26/2015 12:31:44 AM
  • leviettung01: ngã lăn quay 1/26/2015 12:31:47 AM
  • ღKhờღ: ra có mày 1/26/2015 12:31:51 AM
  • ღKhờღ: laughing 1/26/2015 12:31:55 AM
  • leviettung01: thế ngĩa là quay đó mày 1/26/2015 12:32:09 AM
  • leviettung01: laughing 1/26/2015 12:32:12 AM
  • leviettung01: pp nha 1/26/2015 12:32:22 AM
  • leviettung01: mai gặp 1/26/2015 12:32:30 AM
  • ღKhờღ: OK! 1/26/2015 12:32:42 AM
  • leviettung01: yêu m nhất cơ kiss 1/26/2015 12:32:43 AM
  • leviettung01: laughing 1/26/2015 12:32:50 AM
  • leviettung01: rolling_on_the_floor 1/26/2015 12:32:54 AM
  • ღKhờღ: thôi mầy 1/26/2015 12:32:58 AM
  • ღKhờღ: tao k gay như nầy 1/26/2015 12:33:02 AM
  • leviettung01: thế thì lượn đo 1/26/2015 12:33:11 AM
  • leviettung01: pp 1/26/2015 12:33:14 AM
  • ღKhờღ: fắn 1/26/2015 12:33:28 AM
  • ღKhờღ: laughing 1/26/2015 12:33:29 AM
  • leviettung01: có ai ko hè 1/26/2015 6:01:22 PM
  • leviettung01: laughing 1/26/2015 6:01:25 PM
  • leviettung01: có ai ở nhà ko ạ laughing 1/26/2015 7:14:11 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Angel
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • The X-Files
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • datwin195
  • kto138
  • ~~ Nhỏ ~~
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★Pino★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Thần Thoại
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Trúc Võ
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • leviettung01
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • mikako303
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318