1. Hàm số liên tục tại một điểm
         ĐN: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm ${x_0}$
Ví dụ 1:
a) Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \mathbb{R}$ vì :   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {x_0}^2 = f\left( {{x_0}} \right)$
b) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{x}\,\,\,(x \ne 0)  \\
  0\,\,\,\,(x = 0) \\
\end{gathered}  \right.$
 gián đoạn  tại điểm $x = 0$ vì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$   (h.4.10)
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
             ĐN: a) Giả  sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số $f$ liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
b) Hàm số $f$xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f\left( a \right),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f\left( b \right).$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
Giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vì với mọi ${x_0} \in \left( { - 1;1} \right)$ ta có   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}}  = \sqrt {1 - {x_0}^2}  = f\left( {{x_0}} \right)$
Nên hàm số $f$ liên tục trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$. Ngoài ra, ta có
                         $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( { - 1} \right)$
Và                     $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( 1 \right)$
Do đó, hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]\left( {h4.14} \right)$
 Nhận xét:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Định lí 1: Các hàm số lượng giác $y = \operatorname{s} {\text{inx}},\,y = \cos x,\,y = \tan x,\,y = \cot x$ liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
                 Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu $f\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ thì với mỗi số thực M nằm giữa $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = M$.
* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và M là một số thực nằm giữa $f\left( a \right)$và $f\left( b \right)$ thì đường thẳng $y = M$ cắt đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)\,\left( {h.4.15} \right).$
* Hệ quả: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và  $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.
* Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)$ (h.4.16)
 Ví dụ 4: Cho hàm số $P\left( x \right) = {x^3} + x - 1$
Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình $P\left( x \right) = 0$ có it nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải: Hàm số P liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],\,P\left( 0 \right) =  - 1,\,\,P\left( 1 \right) = 1$.
Vì $P\left( 0 \right)P\left( 1 \right) < 0$  nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $P\left( c \right) = 0.$
$x = c$ chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình $P\left( x \right) = 0$.

Chat chit và chém gió
  • Cát Buồn: jea, đừng buồn mà 11/27/2014 11:42:12 PM
  • Cát Buồn: thui, e đóng cửa sám hối đây 11/27/2014 11:42:29 PM
  • Cát Buồn: trc tiên 11/27/2014 11:42:40 PM
  • Cát Buồn: e cũng có 3 từ muốn ns nè 11/27/2014 11:43:05 PM
  • Jea...student: khoan 11/27/2014 11:43:30 PM
  • tuanthanh311297: nerd 11/27/2014 11:43:32 PM
  • Jea...student: đừng nói 11/27/2014 11:43:39 PM
  • Jea...student: ok big_grin 11/27/2014 11:43:44 PM
  • Cát Buồn: sao đừng rùi lại ok nè 11/27/2014 11:44:04 PM
  • Jea...student: ok ko nói 11/27/2014 11:44:16 PM
  • Cát Buồn: ko ns sao 11/27/2014 11:44:28 PM
  • Cát Buồn: ko hối hận chớ 11/27/2014 11:44:35 PM
  • Jea...student: uk 11/27/2014 11:44:51 PM
  • Cát Buồn: ok, bạn hiền 11/27/2014 11:45:00 PM
  • Jea...student: thui 11/27/2014 11:45:09 PM
  • Cát Buồn: g9 11/27/2014 11:45:09 PM
  • Jea...student: gb 11/27/2014 11:45:16 PM
  • Cát Buồn: kiss 11/27/2014 11:45:28 PM
  • Cát Buồn: wave 11/27/2014 11:45:38 PM
  • Jea...student: ấy 11/27/2014 11:45:53 PM
  • Jea...student: giữ hôn lại 11/27/2014 11:46:05 PM
  • Jea...student: happy 11/27/2014 11:46:08 PM
  • Jea...student: cất đi 11/27/2014 11:46:20 PM
  • tuanthanh311297: wave chào cát crying 11/27/2014 11:46:47 PM
  • ~Kezo~: wave 11/27/2014 11:47:05 PM
  • Cát Buồn: chào a thành, kezo, chị min nha 11/27/2014 11:47:19 PM
  • Jea...student: sad 11/27/2014 11:47:35 PM
  • Cát Buồn: ps: a thành, e đi ngủ chứ có phải đi chết đâu mà khóc dữ vậy 11/27/2014 11:47:50 PM
  • ~Kezo~: crying 11/27/2014 11:48:01 PM
  • ~Kezo~: cryingcryingcrying 11/27/2014 11:48:09 PM
  • tuanthanh311297: đó có phải mỗi a khóc đâu 11/27/2014 11:48:11 PM
  • Cát Buồn: jea nè, đừng xị mặt thế, cười lên cho đẹp trai nè 11/27/2014 11:48:15 PM
  • ~Kezo~: phbbbbt 11/27/2014 11:48:26 PM
  • Cát Buồn: ==" 11/27/2014 11:48:28 PM
  • tuanthanh311297: căn bản cười vs ko cười vân xấu rolling_on_the_floor 11/27/2014 11:48:38 PM
  • Jea...student: cát 11/27/2014 11:48:52 PM
  • Cát Buồn: kezo nè, sau này chị thuê e khóc đám ma cho chị nhá 11/27/2014 11:48:59 PM
  • Cát Buồn: jea, gì vậy 11/27/2014 11:49:07 PM
  • tuanthanh311297: cát a thuê đó 11/27/2014 11:49:09 PM
  • Jea...student: lần này 11/27/2014 11:49:22 PM
  • ~Kezo~: not_worthy 11/27/2014 11:49:26 PM
  • Jea...student: a nói thật 11/27/2014 11:49:46 PM
  • ~Kezo~: thôi 11/27/2014 11:50:26 PM
  • Cát Buồn: a ns thật cái gì cơ 11/27/2014 11:50:29 PM
  • ~Kezo~: em đi nhởi đây 11/27/2014 11:50:32 PM
  • Còii: Kezo ngủ đi e 11/27/2014 11:50:41 PM
  • tuanthanh311297: kezo lo học đi 11/27/2014 11:50:44 PM
  • Jea...student: nói ra e đồng ý nhé 11/27/2014 11:51:17 PM
  • ~Kezo~: ai cx xua đuổi 11/27/2014 11:52:00 PM
  • ~Kezo~: như 1 sinh vật lạ 11/27/2014 11:52:08 PM
  • tuanthanh311297: rolling_on_the_floor 11/27/2014 11:52:17 PM
  • Cát Buồn: kezo ngoan, đi ngủ giữ gìn nhan sắc chứ e 11/27/2014 11:52:49 PM
  • ~Kezo~: confused 11/27/2014 11:53:15 PM
  • tuanthanh311297: dont_tell_anyone 11/27/2014 11:54:05 PM
  • Jea...student: khinh lần 2 sad thui v 11/27/2014 11:54:19 PM
  • Cát Buồn: jea,a ns gì thê 11/27/2014 11:54:25 PM
  • Cát Buồn: thế 11/27/2014 11:54:28 PM
  • Jea...student: thui 11/27/2014 11:54:46 PM
  • Jea...student: ko nói j het 11/27/2014 11:54:52 PM
  • Cát Buồn: e đang chép văn, thành ra thỉnh thoản ms nhìn đc mà 11/27/2014 11:54:53 PM
  • Cát Buồn: đừng giận mờ 11/27/2014 11:55:25 PM
  • Jea...student: cát 11/27/2014 11:56:23 PM
  • Cát Buồn: vâng 11/27/2014 11:56:30 PM
  • Jea...student: anh yeu em happy 11/27/2014 11:57:44 PM
  • Cát Buồn: e vẫn còn bé lắm a ơi 11/27/2014 11:58:28 PM
  • tuanthanh311297: party 11/27/2014 11:58:31 PM
  • Cát Buồn: a thành 11/27/2014 11:58:56 PM
  • Cát Buồn: lượn 11/27/2014 11:59:00 PM
  • tuanthanh311297: -_- 11/27/2014 11:59:04 PM
  • ~Kezo~: rolling_on_the_floor 11/27/2014 11:59:20 PM
  • Jea...student: tội 11/27/2014 11:59:41 PM
  • Cát Buồn: jea, e sẽ ko bh tùy tiện ns yêu ai 11/27/2014 11:59:51 PM
  • Cát Buồn: kể cả là ns đùa 11/27/2014 11:59:58 PM
  • Jea...student: v là e ko dong ý ha 11/28/2014 12:00:04 AM
  • Jea...student: sad 11/28/2014 12:00:07 AM
  • Cát Buồn: vs e từ đó rất thiêng liêng 11/28/2014 12:00:11 AM
  • Cát Buồn: thế nên 11/28/2014 12:00:55 AM
  • Cát Buồn: dù rất muốn, nhưng 11/28/2014 12:01:10 AM
  • Cát Buồn: sorry 11/28/2014 12:01:25 AM
  • Cát Buồn: are we friend? ok? 11/28/2014 12:02:11 AM
  • ~Kezo~: crying 11/28/2014 12:02:53 AM
  • Jea...student: khỏi bạn luôn di e 11/28/2014 12:03:03 AM
  • Jea...student: e có the đi ngủ 11/28/2014 12:03:18 AM
  • Cát Buồn: phũ ghê ha 11/28/2014 12:03:44 AM
  • Cát Buồn: e đi ngủ đây 11/28/2014 12:04:11 AM
  • ~Kezo~: wave 11/28/2014 12:04:16 AM
  • Cát Buồn: jea nè, e sẽ thuyết phục đc a làm bạn e, tin ko 11/28/2014 12:04:31 AM
  • Cát Buồn: vì mn trong htn vốn là bạn mà, phải ko nào 11/28/2014 12:04:49 AM
  • Cát Buồn: tongue 11/28/2014 12:04:55 AM
  • Jea...student: ko bao h 11/28/2014 12:04:57 AM
  • Cát Buồn: pi2 11/28/2014 12:04:57 AM
  • Cát Buồn: jea, cứ chờ xem 11/28/2014 12:05:09 AM
  • Cát Buồn: hahahahahaha 11/28/2014 12:05:34 AM
  • Jea...student: mồm cười 11/28/2014 12:05:51 AM
  • tuanthanh311297: dont_tell_anyone 11/28/2014 12:05:53 AM
  • Jea...student: mà ngủ rolling_on_the_floor... 11/28/2014 12:06:13 AM
  • Jea...student: ngủ nha may dua 11/28/2014 12:12:03 AM
  • Còii: a ngủ đi 11/28/2014 12:12:16 AM
  • tuanthanh311297: ngủ đây 11/28/2014 12:13:22 AM
  • tuanthanh311297: wave 11/28/2014 12:13:35 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Angel
  • devilphuong96
  • Cát Buồn
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Còii
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Trúc Võ
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • maihd1980
  • thuphuong.020298
  • xq.qn96