1. Hàm số liên tục tại một điểm
         ĐN: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm ${x_0}$
Ví dụ 1:
a) Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \mathbb{R}$ vì :   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {x_0}^2 = f\left( {{x_0}} \right)$
b) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{x}\,\,\,(x \ne 0)  \\
  0\,\,\,\,(x = 0) \\
\end{gathered}  \right.$
 gián đoạn  tại điểm $x = 0$ vì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$   (h.4.10)
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
             ĐN: a) Giả  sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số $f$ liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
b) Hàm số $f$xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f\left( a \right),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f\left( b \right).$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
Giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vì với mọi ${x_0} \in \left( { - 1;1} \right)$ ta có   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}}  = \sqrt {1 - {x_0}^2}  = f\left( {{x_0}} \right)$
Nên hàm số $f$ liên tục trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$. Ngoài ra, ta có
                         $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( { - 1} \right)$
Và                     $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( 1 \right)$
Do đó, hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]\left( {h4.14} \right)$
 Nhận xét:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Định lí 1: Các hàm số lượng giác $y = \operatorname{s} {\text{inx}},\,y = \cos x,\,y = \tan x,\,y = \cot x$ liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
                 Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu $f\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ thì với mỗi số thực M nằm giữa $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = M$.
* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và M là một số thực nằm giữa $f\left( a \right)$và $f\left( b \right)$ thì đường thẳng $y = M$ cắt đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)\,\left( {h.4.15} \right).$
* Hệ quả: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và  $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.
* Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)$ (h.4.16)
 Ví dụ 4: Cho hàm số $P\left( x \right) = {x^3} + x - 1$
Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình $P\left( x \right) = 0$ có it nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải: Hàm số P liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],\,P\left( 0 \right) =  - 1,\,\,P\left( 1 \right) = 1$.
Vì $P\left( 0 \right)P\left( 1 \right) < 0$  nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $P\left( c \right) = 0.$
$x = c$ chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình $P\left( x \right) = 0$.

Chat chit và chém gió
  • Windy: @@ 9/3/2014 12:15:06 AM
  • Windy: tha cho chị đi e 9/3/2014 12:15:13 AM
  • Windy: chị buồn ngủ díp mắt v r 9/3/2014 12:15:22 AM
  • nthuyhang2: nếu loại bỏ mấy cái kia thì ns thế nào cj nhể 9/3/2014 12:15:24 AM
  • nthuyhang2: nốt cái này thôi c 9/3/2014 12:15:36 AM
  • Windy: sao lại loại? 9/3/2014 12:15:37 AM
  • Windy: nghiệm đúng mờ 9/3/2014 12:15:45 AM
  • nthuyhang2: thay vào cũng đúng á c 9/3/2014 12:16:03 AM
  • nthuyhang2: mà cái nghiệm t2 của c í 9/3/2014 12:16:37 AM
  • nthuyhang2: e k ra thế đâu 9/3/2014 12:16:44 AM
  • nthuyhang2: ra thế này ạ 9/3/2014 12:17:13 AM
  • nthuyhang2: 0,9999998757 9/3/2014 12:17:21 AM
  • Windy: @@ 9/3/2014 12:17:27 AM
  • Windy: biết là vậy 9/3/2014 12:17:37 AM
  • Windy: ý chị là chuyển về nghiệm căn í 9/3/2014 12:17:47 AM
  • Windy: nó ra là 9/3/2014 12:17:54 AM
  • nthuyhang2: nhưng 2 cái này có bằng nhau đâu ạ 9/3/2014 12:18:05 AM
  • nthuyhang2: cj viết lại cái căn đi 9/3/2014 12:18:12 AM
  • Windy: đấy chỉ là căn đen ta ' thôi 9/3/2014 12:18:53 AM
  • nthuyhang2: ah 9/3/2014 12:19:02 AM
  • Windy: còn nghiệm thì chắc là như này này 9/3/2014 12:19:07 AM
  • Windy: -4023031/8048072 9/3/2014 12:19:36 AM
  • Windy: =.= 9/3/2014 12:19:39 AM
  • Windy: a 9/3/2014 12:19:54 AM
  • Windy: nhàm 9/3/2014 12:19:56 AM
  • Windy: nhầm 9/3/2014 12:20:00 AM
  • nthuyhang2: thế là bn ạ 9/3/2014 12:20:10 AM
  • nthuyhang2: cj windy ơi 9/3/2014 12:21:02 AM
  • Windy: đây 9/3/2014 12:21:08 AM
  • Windy: -8046063/8048072 9/3/2014 12:21:38 AM
  • nthuyhang2: sao k giống cái của e cj nhỉ 9/3/2014 12:22:13 AM
  • nthuyhang2: e tính = máy tính mà 9/3/2014 12:22:23 AM
  • Windy:9/3/2014 12:22:37 AM
  • Windy: so số thập phân lại k ra như thế 9/3/2014 12:22:51 AM
  • Windy: @@ 9/3/2014 12:22:53 AM
  • Windy: hầy 9/3/2014 12:22:59 AM
  • Windy: =.= 9/3/2014 12:23:05 AM
  • nthuyhang2: cj tính kiểu j cj 9/3/2014 12:23:30 AM
  • Windy: để ra nghiệm đúng thì chỉ còn cách tính đen ta r dùng công thức nghiệm chứ tính kiểu gì 9/3/2014 12:24:02 AM
  • Windy: -_- 9/3/2014 12:24:04 AM
  • nthuyhang2: vg 9/3/2014 12:24:10 AM
  • nthuyhang2: thế chắc cái của cj đúng r 9/3/2014 12:25:13 AM
  • Windy: làm gì có ra giống máy đâu mà đúng 9/3/2014 12:25:31 AM
  • nthuyhang2:9/3/2014 12:25:48 AM
  • Windy: ơ 9/3/2014 12:26:16 AM
  • Windy: để thử lại xem nào 9/3/2014 12:26:22 AM
  • nthuyhang2: e dùng den ta ra giống máy mà cj 9/3/2014 12:27:36 AM
  • Windy: ơ 9/3/2014 12:27:42 AM
  • Windy: thế à 9/3/2014 12:27:45 AM
  • nthuyhang2: mỗi tội nó vẫn là số thập phân 9/3/2014 12:27:51 AM
  • Windy: hở 9/3/2014 12:27:56 AM
  • Windy: -_- 9/3/2014 12:27:58 AM
  • nthuyhang2: ci chuyển sang phân số hộ e đc k? 9/3/2014 12:28:10 AM
  • Windy: dùng đen ta r để căn e ơi =.= 9/3/2014 12:28:17 AM
  • nthuyhang2: là sao cj 9/3/2014 12:28:41 AM
  • Windy: chị có phải thánh đâu mờ chuyển đc từ số thập phân sang phân số 9/3/2014 12:28:43 AM
  • nthuyhang2: nhưng nó chả ra căn 9/3/2014 12:28:57 AM
  • Windy: căn đen ta k đc bấm máy -_- 9/3/2014 12:29:25 AM
  • Windy: đen ta e ra như nào 9/3/2014 12:29:39 AM
  • Windy: gõ thử vài số coi nào 9/3/2014 12:29:48 AM
  • nthuyhang2: den ta = 9/3/2014 12:29:59 AM
  • nthuyhang2: 16088117 9/3/2014 12:30:05 AM
  • Windy: k giống 9/3/2014 12:31:54 AM
  • Windy: =.= 9/3/2014 12:31:56 AM
  • nthuyhang2: cj ra thế nào 9/3/2014 12:32:10 AM
  • Windy: đen ta ra dài lắm 9/3/2014 12:33:21 AM
  • Windy: nhưng lần này căn lên số đẹp cực 9/3/2014 12:33:34 AM
  • nthuyhang2: đẹp là bn cj 9/3/2014 12:33:46 AM
  • Windy: căn đen ta =8046065 9/3/2014 12:33:53 AM
  • Windy: ra nghiệm chuẩn như máy luôn nài 9/3/2014 12:34:04 AM
  • nthuyhang2: nghiệm bn cj 9/3/2014 12:34:34 AM
  • nthuyhang2: căn den ta mà dìa thế á cj 9/3/2014 12:34:50 AM
  • Windy: x=8046065/8048072 9/3/2014 12:34:59 AM
  • Windy: lần này sai là chị bỏ cuộc đấy 9/3/2014 12:35:12 AM
  • Windy: ngủ luôn đây 9/3/2014 12:35:18 AM
  • Windy: =.= 9/3/2014 12:35:23 AM
  • nthuyhang2: cj ơi 9/3/2014 12:35:29 AM
  • nthuyhang2: lại sai 9/3/2014 12:35:34 AM
  • Windy: hử? 9/3/2014 12:35:36 AM
  • Windy: đúng đấy 9/3/2014 12:35:45 AM
  • Windy: 100% luôn 9/3/2014 12:35:53 AM
  • Windy: giống hệt máy còn gì 9/3/2014 12:36:03 AM
  • nthuyhang2: mà căn den ta đấy sao chị ra nghiệm thế kia ạ 9/3/2014 12:36:43 AM
  • nthuyhang2: thôi e cũng ngủ luôn đây 9/3/2014 12:37:42 AM
  • Windy: hằng 9/3/2014 12:37:45 AM
  • Windy: nhầm r 9/3/2014 12:37:47 AM
  • nthuyhang2: :sao ạ 9/3/2014 12:37:52 AM
  • Windy: x=8048071/8048072 9/3/2014 12:38:09 AM
  • Windy: đấy 9/3/2014 12:38:25 AM
  • Windy: như này mới đúng 9/3/2014 12:38:34 AM
  • nthuyhang2: sao ra căn đẹp thế đc cj nhể 9/3/2014 12:39:08 AM
  • Windy: đen ta chị =6,473916198 nhân 10^13 9/3/2014 12:39:34 AM
  • nthuyhang2: vg 9/3/2014 12:39:44 AM
  • nthuyhang2: thôi e ngủ nhá 9/3/2014 12:39:53 AM
  • Windy: bấm máy căn nó ra 8046065 9/3/2014 12:39:55 AM
  • Windy:9/3/2014 12:40:01 AM
  • Windy: mệt thật 9/3/2014 12:40:04 AM
  • Windy: sleepy 9/3/2014 12:40:09 AM
  • nthuyhang2: có gì hôm khác e gặp chj 9/3/2014 12:40:16 AM
  • nthuyhang2: yawn 9/3/2014 12:40:41 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sowkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Hòn Sỏi Buồn
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ★.★Hoàng Huy★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • hikichbo