1. Hàm số liên tục tại một điểm
         ĐN: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm ${x_0}$
Ví dụ 1:
a) Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \mathbb{R}$ vì :   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {x_0}^2 = f\left( {{x_0}} \right)$
b) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{x}\,\,\,(x \ne 0)  \\
  0\,\,\,\,(x = 0) \\
\end{gathered}  \right.$
 gián đoạn  tại điểm $x = 0$ vì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$   (h.4.10)
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
             ĐN: a) Giả  sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số $f$ liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
b) Hàm số $f$xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f\left( a \right),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f\left( b \right).$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
Giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vì với mọi ${x_0} \in \left( { - 1;1} \right)$ ta có   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}}  = \sqrt {1 - {x_0}^2}  = f\left( {{x_0}} \right)$
Nên hàm số $f$ liên tục trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$. Ngoài ra, ta có
                         $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( { - 1} \right)$
Và                     $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - {x^2}}  = 0 = f\left( 1 \right)$
Do đó, hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]\left( {h4.14} \right)$
 Nhận xét:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Định lí 1: Các hàm số lượng giác $y = \operatorname{s} {\text{inx}},\,y = \cos x,\,y = \tan x,\,y = \cot x$ liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
                 Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu $f\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ thì với mỗi số thực M nằm giữa $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = M$.
* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và M là một số thực nằm giữa $f\left( a \right)$và $f\left( b \right)$ thì đường thẳng $y = M$ cắt đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)\,\left( {h.4.15} \right).$
* Hệ quả: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và  $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.
* Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)$ (h.4.16)
 Ví dụ 4: Cho hàm số $P\left( x \right) = {x^3} + x - 1$
Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình $P\left( x \right) = 0$ có it nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải: Hàm số P liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],\,P\left( 0 \right) =  - 1,\,\,P\left( 1 \right) = 1$.
Vì $P\left( 0 \right)P\left( 1 \right) < 0$  nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $P\left( c \right) = 0.$
$x = c$ chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình $P\left( x \right) = 0$.

Chat chit và chém gió
  • hạt cát nhỏ: vừa mới thấy xao 8/23/2014 9:53:15 AM
  • ~Liêu xiêu~: hi cát 8/23/2014 9:53:26 AM
  • ~Liêu xiêu~: e tớ đấy 8/23/2014 9:53:31 AM
  • Con Gái MAFIA: cát bao nhiu tủi 8/23/2014 9:53:31 AM
  • ~Liêu xiêu~: big_grin 8/23/2014 9:53:35 AM
  • hạt cát nhỏ: 97 8/23/2014 9:53:38 AM
  • Con Gái MAFIA: úi tời ơi 8/23/2014 9:54:23 AM
  • hạt cát nhỏ: trời gì chứ 8/23/2014 9:55:18 AM
  • hạt cát nhỏ: người ta sn 97 8/23/2014 9:55:29 AM
  • hạt cát nhỏ: ai bảo 97 tuổi đâu 8/23/2014 9:55:38 AM
  • Con Gái MAFIA: ukm 8/23/2014 9:56:36 AM
  • Con Gái MAFIA: hưn tủi 8/23/2014 9:56:40 AM
  • hạt cát nhỏ: hơn tháng thui 8/23/2014 9:56:49 AM
  • hạt cát nhỏ: cát sinh 20/12 mà 8/23/2014 9:57:05 AM
  • hạt cát nhỏ: nên đừng gọi chị nha 8/23/2014 9:57:14 AM
  • Con Gái MAFIA: tg cát là con trai 8/23/2014 9:58:12 AM
  • ~Lao xao~: hi 8/23/2014 9:58:24 AM
  • hạt cát nhỏ: hả 8/23/2014 9:58:28 AM
  • ~Lao xao~: chào 8/23/2014 9:58:33 AM
  • hạt cát nhỏ: chưa có ai tưởng mình là con trai 8/23/2014 9:58:43 AM
  • ~Liêu xiêu~: lao xaobig_grin 8/23/2014 9:58:52 AM
  • ~Lao xao~:8/23/2014 9:58:53 AM
  • ~Lao xao~: chị à 8/23/2014 9:58:57 AM
  • hạt cát nhỏ: mafia là người đầu tiên 8/23/2014 9:58:58 AM
  • hạt cát nhỏ: *sốc nặng* 8/23/2014 9:59:13 AM
  • ~Liêu xiêu~: c giải giúp e bài kia r á 8/23/2014 9:59:18 AM
  • Con Gái MAFIA:8/23/2014 9:59:26 AM
  • Con Gái MAFIA: xl nha 8/23/2014 9:59:30 AM
  • ~Lao xao~: bài nào 8/23/2014 9:59:33 AM
  • ~Liêu xiêu~: ờ thì 8/23/2014 9:59:40 AM
  • ~Liêu xiêu~: fb íwinking 8/23/2014 9:59:55 AM
  • ~Lao xao~: à 8/23/2014 10:00:39 AM
  • ~Liêu xiêu~: nhưng mà, chỉ làm đc 1 bài thôilaughing 8/23/2014 10:01:28 AM
  • ~Liêu xiêu~: bài kia lâu r, chị k nhớblushing 8/23/2014 10:01:44 AM
  • ~Lao xao~: để em xem 8/23/2014 10:02:03 AM
  • ~Liêu xiêu~: ơ 8/23/2014 10:04:33 AM
  • ~Liêu xiêu~: đi đâu hết r? 8/23/2014 10:04:40 AM
  • hạt cát nhỏ: đây nè 8/23/2014 10:05:36 AM
  • ~Liêu xiêu~: hầy 8/23/2014 10:10:54 AM
  • ~Liêu xiêu~: cát 8/23/2014 10:10:56 AM
  • ~Liêu xiêu~: cát học chính chưa vậy? 8/23/2014 10:11:27 AM
  • hạt cát nhỏ: tuần sau nha 8/23/2014 10:11:33 AM
  • Con Gái MAFIA: t2 8/23/2014 10:11:39 AM
  • hạt cát nhỏ: xiêu thì bh học chính 8/23/2014 10:13:10 AM
  • ~Liêu xiêu~: thứ 2 tới này 8/23/2014 10:14:53 AM
  • ~Liêu xiêu~: sigh 8/23/2014 10:15:06 AM
  • hạt cát nhỏ: thế thì giống nhau rồi 8/23/2014 10:15:13 AM
  • hạt cát nhỏ: cát đầu tuần đã có văn 8/23/2014 10:15:24 AM
  • hạt cát nhỏ: đang soạn văn nè 8/23/2014 10:15:30 AM
  • hạt cát nhỏ: chán chết 8/23/2014 10:15:35 AM
  • ~Liêu xiêu~: t mà soạn văn thì chỉ ngồi ngáp thôi 8/23/2014 10:17:06 AM
  • Con Gái MAFIA: giống tui 8/23/2014 10:17:08 AM
  • Con Gái MAFIA: ngay đầu tuần đã có văn vs thể rùi 8/23/2014 10:17:22 AM
  • hạt cát nhỏ: tui đi chép 8/23/2014 10:17:23 AM
  • Con Gái MAFIA: nhưng sướng nhất là có LÍ 8/23/2014 10:17:33 AM
  • Con Gái MAFIA: lại đk ngồi chém gió 8/23/2014 10:17:39 AM
  • hạt cát nhỏ: thể dục m ko có 8/23/2014 10:17:45 AM
  • hạt cát nhỏ: nhưng cũng ghét td lém 8/23/2014 10:17:57 AM
  • hạt cát nhỏ: m thích học hóa hơn 8/23/2014 10:18:09 AM
  • ~Liêu xiêu~: cát giống xiêulaughing 8/23/2014 10:18:14 AM
  • hạt cát nhỏ: mafia thích lí à 8/23/2014 10:18:25 AM
  • hạt cát nhỏ: xiêu: chúng ta anh hùng chung chí hướng 8/23/2014 10:18:41 AM
  • Con Gái MAFIA: ukm 8/23/2014 10:18:45 AM
  • ~Liêu xiêu~: t dốt lí 8/23/2014 10:19:13 AM
  • ~Liêu xiêu~: sad 8/23/2014 10:19:18 AM
  • hạt cát nhỏ: t cũng thế 8/23/2014 10:19:23 AM
  • hạt cát nhỏ: trong giờ lí toàn gật gù 8/23/2014 10:19:32 AM
  • ~Lao xao~: chị 8/23/2014 10:19:41 AM
  • Con Gái MAFIA: bó tay 8/23/2014 10:20:40 AM
  • Con Gái MAFIA: giờ lí là giờ huy hoàng của em 8/23/2014 10:20:54 AM
  • ~Liêu xiêu~: ơi, xao 8/23/2014 10:20:55 AM
  • ~Liêu xiêu~: laughing 8/23/2014 10:21:04 AM
  • Con Gái MAFIA: còn giờ hóa ngồi awnquaf vs chém gió 8/23/2014 10:21:05 AM
  • hạt cát nhỏ: trời đất 8/23/2014 10:21:09 AM
  • Con Gái MAFIA: ăn quà 8/23/2014 10:21:24 AM
  • ~Liêu xiêu~: học giỏi môn nào thì trong h đó sẽ là h huy hoàng chănglaughing 8/23/2014 10:21:29 AM
  • hạt cát nhỏ: chắc thế 8/23/2014 10:22:27 AM
  • ~Liêu xiêu~: klq nhưng t hâm mộ những người học giỏi lí lắm ế 8/23/2014 10:22:32 AM
  • hạt cát nhỏ: vậy cát giỏi nhất là môn ngủ 8/23/2014 10:22:38 AM
  • ~Liêu xiêu~: big_grin 8/23/2014 10:22:40 AM
  • hạt cát nhỏ: giờ ngủ là giờ huy hoàng của cát 8/23/2014 10:22:57 AM
  • ~Liêu xiêu~: laughing cát, t cũng thế 8/23/2014 10:23:10 AM
  • hạt cát nhỏ: laughing 8/23/2014 10:23:31 AM
  • Con Gái MAFIA: ukm 8/23/2014 10:25:30 AM
  • Con Gái MAFIA: tại em hok đk môn lí 8/23/2014 10:25:37 AM
  • Con Gái MAFIA: xong là cái tội thích nghịch 8/23/2014 10:25:46 AM
  • Con Gái MAFIA: nên thấy huy hoàng thui 8/23/2014 10:25:56 AM
  • Con Gái MAFIA: kaka 8/23/2014 10:25:57 AM
  • hạt cát nhỏ:8/23/2014 10:26:08 AM
  • rotnuoc719: chào... chào ,.n nghen 8/23/2014 10:28:33 AM
  • hạt cát nhỏ: nước 8/23/2014 10:28:49 AM
  • ~Liêu xiêu~: 2 8/23/2014 10:28:52 AM
  • rotnuoc719: 2 LX 8/23/2014 10:29:02 AM
  • hạt cát nhỏ: mafia 8/23/2014 10:29:03 AM
  • hạt cát nhỏ: nước bằng tuổi cậu í 8/23/2014 10:29:16 AM
  • thanhloan161: chào ạ 8/23/2014 10:30:09 AM
  • hạt cát nhỏ: loan à 8/23/2014 10:30:19 AM
  • hạt cát nhỏ: hnay đông đủ ghê a 8/23/2014 10:30:29 AM
  • ~Liêu xiêu~: chào loanhappy 8/23/2014 10:30:55 AM
  • rotnuoc719: chào m.n nghen 8/23/2014 10:31:42 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sowkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Death
  • devilphuong96
  • hạt cát nhỏ
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • :
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Hòn Sỏi Buồn
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • ~Liêu xiêu~
  • kuzulies
  • ★.★Hoàng Huy★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • rotnuoc719
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • thanhloan161
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • dinhthanhthao36
  • phamthaibao512