PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Quan tâm

Đưa vào sổ tay

1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến

$A(n)$ là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến

$n$ , ta thực hiện hai bước sau:
· Bước 1: (bước có sở, hay bước khởi đầu). Chứng minh

$A(n)$ là một mệnh đề đúng khi

$n = 1$ .
· Bước 2: ( bước quy nạp với giả thiết quy nạp). Với

$k$ là một số nguyên dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết

$A(n)$ là một mệnh đề đúng khi

$n = k$ , chứng minh

$A(n)$ cũng là một mệnh đề đúng khi

$n = k + 1$ .
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}$ (3)
Giải: ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
+ Với

$n = 1$ , ta có

${1^3} = 1 = \frac{{{1^2}{{(1 + 1)}^2}}}{4}$
Như vậy (3) đúng khi

$n = 1$
+ Giả sử (3) đúng khi

$n = k,k \in {\mathbb{N}^*}$ , tức là

${1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}$
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có

$\begin{gathered} {1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}}}{4}.({k^2} + 4k + 4) \\ = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4} \\ \end{gathered}$
Vậy (3) đúng với mọi số nguyên dương n.
· CHÚ Ý: Bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến

$A(n)$ là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương

$n \geqslant p$ , trong đó

$p$ là một số nguyên dương cho trước.
· Để giải quyết bài toán đặt ra bằng phương pháp quy nạp, ở bước 1 ta cần chứng minh

$A(n)$ là mệnh đề đúng khi

$n = p$ và ở bước 2, cần xét giả thiết quy nạp với

$k$ là số nguyên dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng p.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

$n \geqslant 3$ , ta luôn có

${2^n} > 2n + 1$
Giải: Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp:
+ Với n=3, ta có

${2^n} = {2^3} = 8$ và

$2n + 1 = 2.3 + 1 = 7$ .
Rõ ràng 8 > 7, và do đó (4) đúng khi

$n = 3$ .
+ Giả sử (4) đúng khi

$n = k,k \in {\mathbb{N}^*}$ và