PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

Quan tâm

Đưa vào sổ tay

1. Giải và biện luận phương trình dạng

$ax + b = 0$
Kết quả giải và biện luận phương trình dạng

$ax + b = 0$ được nêu trong bảng sau đây:
1)

$a \ne 0$ : Phương trình có một nghiệm duy nhất

$x = - \frac{b}{a}$
2)

$a = 0\& b \ne 0$ : Phương trình vô nghiệm
3)

$a = 0\& b = 0$ : Phương trình nghiệm đúng với mọi

$x \in \mathbb{R}$
2. Giải và biện luận phương trình dạng

${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c = 0$
Kết quả giải và biện luận phương trình dạng

${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c = 0$ được nêu trong bảng sau đây:
1)

$a = 0$ : Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0
2)

$a \ne 0$ :

$\Delta > 0$ : phương trình có hai nghiệm (phân biệt)

$x_{1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{2a}$ và

$x_{2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$

$\Delta = 0\,\,$ : phương trình có một nghiệm kép

$x_{1} =x_{2} = - \frac{b}{{2a}}$

$\Delta < 0$ : phương trình vô nghiệm
Ví dụ: Cho phương trình

$3x + 2 = - {x^2} + x + a\,\,$ (3)
Bẳng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình (3) tùy theo các giá trị của tham số a
Giải
Trước hết, ta đưa phương trình (3) về dạng

${x^2} + 2x + 2 = a\,\,$ (4)

Số nghiệm của phương trình (3) cũng là số nghiệm của phương trình (4) và bằng số giao điểm của parabol (P):

$y = {x^2} + 2x + 2$ với đường thẳng

$\,(d):y = a$ . Quan sát đồ thị ta thấy đỉnh của parabol (P) là điểm M(-1; 1), khi a thay đổi thì đường thẳng (d) cũng thay đổi nhưng luôn song song (hoặc trùng) với trục hoành. Từ đó, suy ra:
Với a<1, phương trình (3) vô nghiệm ( đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung)
Với a = 1, phương trình (3) có một nghiệm kép (đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P))
Với a>1, phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt (đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt)
CHÚ Ý
Khi viết phương trình (3) dưới dạng

${x^2} + 2x + 2 = a\,\,$ , ta thấy kết quả trên còn cho biết số giao điểm của parabol

$y = {x^2} + 3x + 2\,\,$ với đường thẳng

$y = x + a$ .
3. Ứng dụng của định lý Vi – ét
Hai số

${x_1}\& {x_2}$ là các nghiệm của phương trình bậc hai

${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c = 0$
Khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức:

${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\,\,\& \,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$
Định lý Vi – ét có nhiều ứng dụng quan trọng, chẳng hạn như:
1) Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai;
2) Phân tích đa thức thành nhân tử;
Nếu đa thức

$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có hai nghiệm

${x_1}\& {x_2}$ thì nó có thể phân tích thành nhân tử

$f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$
3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng;
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là các nghiệm của phương trình

${x^2} - Sx + P = 0$ .
Ta có ứng dụng quan trọng khác của định lý Vi – ét là xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
NHẬN XÉT
Cho phương trình bậc hai

${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm

${x_1}\& {x_2}$ (

${x_1} \leqslant {x_2}$ ). Đặt

$S = - \frac{b}{a}$ và

$P = \frac{c}{a}$ . Khi đó:
- Nếu P < 0 thì

${x_1} < 0 < {x_2}$ (hai nghiệm trái dấu);
- Nếu P > 0 và S > 0 thì

$0 < {x_1} \leqslant {x_2}$ (hai nghiệm dương);
- Nếu P > 0 và S < 0 thì

${x_1} \leqslant {x_2} < 0$ (hai nghiệm âm);
Ví dụ:
Xét dấu các nghiệm của phương trình sau (nếu có)

$\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + 1 = 0$ (*)
Giải
Ta có

$a = 2 - \sqrt 3 > 0\,\,$ và

$\,\,\,c = 1 > 0 \Rightarrow P > 0$

$\Delta ' = {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right) = \left( {2 - \sqrt 3 } \right) \Rightarrow \Delta ' > 0\,$ (vậy (*) có hai nghiệm phân biệt)

$a = \,\,2 - \sqrt 3 > 0$ và

$-b= - 2(1 - \sqrt 3) = 2(\sqrt 3 - 1)>0 \Rightarrow S > 0$
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm dương