1. Khái niệm phương trình một ẩn
ĐỊNH NGHĨA
Cho hai hàm số $y = f(x)\,\,\& \,y = g(x)$ có tập xác định lần lượt là ${D_f}\,\,\& \,\,{D_g}\,$. Đặt $D = {D_f} \cap {D_g}$
Mệnh đề chứa biến $f(x)=g(x)$ được gọi là phương trình một ẩn; $x$ gọi là ẩn số (hay ẩn) và $D$ gọi là tập xác định của phương trình.
Số ${x_0} \in D$ gọi là một nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$nếu là mệnh đề $f(x_{0} )=g(x_{0} )$ đúng
CHÚ Ý 1
Để thuận tiện trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác định $D$ của phương trình mà chỉ cần nêu điều kiện để $x \in D$. Điều kiện đó gọi là điều kiện xác định của phương trình, gọi tắt là điều kiện của phương trình.
Để đơn giản, ta coi các hàm số được nói đến trong bài này đều được cho bằng biểu thức. Vậy theo quy ước về tập xác định của hàm số cho bởi biểu thức, điều kiện phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của $f(x) $ và $ g(x)$ và cùng được xác định và các điều kiện khác của ẩn (nếu có yêu cầu)
CHÚ Ý 2
1) Khi giải một phương trình (tức là tìm tập nghiệm của phương trình), nhiều khi ta chỉ cần, hoặc chỉ có thể tính giá trị gần đúng của nghiệm (với độ chính xác nào đó). Giá trị đó gọi là nghiệm gần đúng của phương trình.
Chẳng hạn, bằng máy tính bỏ túi, ta tính nghiệm gần đúng (chính xác đến hàng phần nghìn) của phương trình ${x^3} = 7\,$là $x \approx 1,913$
2) Các nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số $y = f(x)\,\,\& \,y = g(x)$.
2. Phương trình tương đương
Ta đã biết: Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Nếu phương trình$f_{1} ({x}) = g_{1} ({x})$tương đương với phương trình$f_{2} ({x}) = g_{2} ({x})$thì ta đã viết
${f_1}(x) = {g_1}(x) \Leftrightarrow {f_2}(x) = {g_2}(x)$
* Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng tập xác định $D$ (hay có cùng điều kiện xác định mà ta cũng kí hiệu $D$) và tương đương với nhau, ta nói:
- Hai phương trình tương đương với nhau trên $D$, hoặc
- Với điều kiện $D$, hai phương trình tương đương với nhau.
Chẳng hạn với x>0, hai phương trình ${{\text{x}}^2} = 1\,\& \,x = 1$ tương đương với nhau.
* Trong các phép biến đổi phương trình, đáng chú ý nhất là các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Ta gọi chúng là các phép biến đổi tương đương. Như vậy:
Phép biến đổi tương đương biến một phương trình thành phương trình tương đương với nó.
ĐỊNH LÝ
Cho phương trình$f\left( x \right) = g\left( x \right)$ có tập xác định $D$;$y = h\left( x \right)$là một hàm số xác định trên $D$ ( $h(x)$có thể là một hằng số). Khi đó trên $D$, phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:
1)$f(x) + h(x) = g(x) + h(x)$
2)$f(x)h(x) = g(x)h(x)$nếu $h(x) \ne 0$với mọi $x \in D$
3. Phương trình hệ quả
Tổng quát
${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$gọi là phương trình hệ quả của phương trình.
$f\left( x \right) = g\left( x \right)$nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương của phương trình$f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Khi đó ta viết
$f(x) = g(x) \Rightarrow {f_1}(x) = {g_1}(x)$
ĐỊNH LÝ 2
Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho
$f(x) = g(x) \Rightarrow {\left[ {{f_1}(x)} \right]^2} = {\left[ {{g_1}(x)} \right]^2}$
CHÚ Ý
1) Có thể chứng minh được rằng: Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được phương trình tương đương
2) Nếu phép biến đổi một phương trình dẫn đến phương trình hệ quả thì sau khi giải phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai.
4. Phương trình nhiều ẩn
Trong thực tế, ta còn gặp những phương trình có nhiều hơn một ẩn. Đó là các phương trình dạng F=G, trong đó F và G là những biểu thức của nhiểu biên. Chẳng hạn:
$2{x^2} + 4xy - {y^2} = - x + 2y + 3$ (3)
Là một phương trình hai ẩn (x và y);
$x + y + z = 3xyz$ (4)
là một phương trình ba ẩn (x, y và z)
Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi $x = {x_0}\& y = {y_0}$(với ${x_0}$ và ${y_0}$là số thì ta gọi cặp số $({x_{0;}}{y_0})$ là một nghiệm của nó. Chẳng hạn cặp số (1; 0) là một nghiệm của phương trình (3):
Khái niệm nghiệm của phương trình ba ẩn, bốn ẩn,… cũng được hiểu tương tự.
Chẳng hạn, bộ ba số (1; 1; 1) là một nghiệm của phương trình (4).
Đối với phương trình nhiều ẩn, các khái niệm tập xác định (điều kiện xác định), tập nghiệm, phương trình tương đương, phương trình hệ quả,…cũng tương tự như đối với phương trình một ẩn.
5. Phương trình chứa tham số
Chúng ta còn xét cả những phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác. Các chữ này được xem là những số đã biết và được gọi là tham sô.
Chẳng hạn, phương trình $m(x + 2) = 3mx - 1$ (với ẩn x) là một phương trình tham số m.
Rõ ràng nghiệm và tập nghiệm của một phương trình chứa tham số phụ thuộc vào tham số đó. Khi giải phương trình chứa tham số, ta phải chỉ ra tập nghiệm của phương trình tùy theo các giá trị có thể của tham số. Để nhấn mạnh ý đó, khi giải phương trình chứa tham số, ta thường nói là giải và biện luận phương trình.