1. Số gần đúng
Trong nhiều trường hợp, ta không biết được giá trị đúng của đại lượng ta đang quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó.
2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
a, Sai số tuyệt đối
Giả sử $\overline a $ là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của $\overline a $. Giá trị $|\overline{a}-a|$phản ánh mức độ sai lệch giữa $\overline a $ và a. Ta gọi $|\overline{a}-a|$ là sai số tuyệt đối của số gần đúng a ký hiệu là ${\Delta _a}$, tức là $ \Delta_{a}=|\overline{a}-a| $
VD: Giả sử $\overline a = \sqrt 2 $ và 1 giá trị gần đúng của nó là $a=1,41$. Ta có:
$\begin{gathered}
{(1,41)^2} = 1,9881 < 2 \Rightarrow 1,41 < \sqrt 2 \Rightarrow \sqrt 2 - 1,41 > 0 \end{gathered} $ ;
$\begin{gathered}
{(1,42)^2} = 2,0164 > 2 \Rightarrow 1,42 > \sqrt 2 \Rightarrow \sqrt 2 - 1,41 < 0,01
\end{gathered} $
Do đó: ${\Delta _a} = |\overline a - a| = \left| {\sqrt 2 - 1,41} \right| < 0,01$
Vậy sai số tuyệt đối của 1,41 không vượt quá 0,01
Nếu $\Delta_{a} \leq d$ thì $a-d \leq \overline{a} \leq a+d $. Khi đó ta quy ước viết: $\overline{a}=a\pm d$.
Như vậy, khi viết $\overline{a}= a \pm d $, ta hiểu số đúng $\overline{a} $ nằm trong đoạn $[a-d;a+d]$. Bởi vậy, $d$ càng nhỏ thì độ sai lệch của số gần đúng $a$ so với đúng $\overline{a} $ càng ít. Thành thử $d$ được gọi là độ chính xác của số gần đúng.
b, Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng a, ký hiệu ${\delta _a}$, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và |a|, tức là ${\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{|a|}}$
- Nếu $\overline a = a \pm d$ thì ${\Delta _a} \leqslant d$. Do đó ${\delta _a} \leqslant \frac{d}{{\left| a \right|}}$
- Nếu $\frac{d}{{\left| a \right|}}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.
Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.
3. Số quy tròn
Tùy mức độ cho phép, ta có thể quy tròn theo nguyên tắc sau:
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng quy tròn.
Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn. Như vậy, độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.
CHÚ Ý
1) Khi quy tròn số đúng $\overline a $ đến một hàng nào thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó. Chẳng hạn, số gần đúng của$\pi $chính xác đến hàng phần trăm là 3,14; số gần đúng của $\sqrt 2 $chính xác đến hàng phần nghìn là 1,414.
2) Nếu kết quả cuối cùng của bài toán yêu cầu chính xác đến hàng $\frac{1}{{{{10}^n}}}$thì trong quá trình tính toán, ở kết quả của các phép tính trung gian, ta cần lấy chính xác ít nhất đến hàng $\frac{1}{{{{10}^{n + 1}}}}$.
3) Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là $\overline a = a \pm d$). Khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn số a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
Chẳng hạn, cho $\overline a = 1,236 \pm 0,002$và ta phải quy tròn số 1,236. Ta thấy $0,001 < 0,002 < 0,01$nên hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần trăm. Vậy ta phải quy tròn số 1,236 đến hàng phần trăm. Kết quả là $\overline a \approx 1,24$.
4. Chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng
a, Chữ số chắc
Cho số gần đúng a của số $\overline a $với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
b, Dạng chuẩn của số gần đúng
- Nếu chữ số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ số chắc.
- Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là $A{.10^k}$, trong đó A là số nguyên, ${10^k}$là hàng thấp nhất có chữ số chắc ($k \in N$)
CHÚ Ý 1
Các số gần đúng trong “Bảng số với bốn chữ số thập phân” hoặc máy tính bỏ túi đều được cho dưới dạng chuẩn.
CHÚ Ý 2
Với quy ước về dạng chuẩn số gần đúng thì hai số gần đúng 0,14 và 0,140 viết dưới dạng chuẩn có ý nghĩa khác nhau. Số gần đúng 0,14 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,005 còn số gần đúng 0,140 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005.
5. Ký hiệu khoa học của một số
Mỗi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng $\alpha {.10^n}$, trong đó $1 \leqslant |\alpha < 10,\,n \in \mathbb{Z}$
( Quy ước rằng nếu $n = - m$, với m là số nguyên dương thì ${10^{ - m}} = \frac{1}{{{{10}^m}}}$)
Dạng như thế được gọi là ký hiệu khoa học của số đó. Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để ghi những số rất lớn hoặc rất bé. Số mũ n của 10 trong kí hiệu khoa học của một số cho ta thấy độ lớn (bé) của số đó.
Ví dụ:
Khối lượng của Trái đất viết dưới dạng ký hiệu khoa học là 5,98.1024 kg
Khối lượng nguyên tử của Hiđrô viết dưới dạng ký hiệu khoa học là 1,66.10-24kg