Gợi ý giải Thi tốt nghiệp môn Toán - năm 2013

Question

Đề thi tốt nghiệp môn Toán- năm $2013$

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( $7,0$ điểm)
Câu $1$ ( $3,0$ điểm). Cho hàm số

$y=x^3-3x-1$ .

$1,$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm

$(C)$ của hàm số đã cho.

$2,$ Viết phương trình tiếp tuyến của

$(C)$ , biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng

$9$

Câu $2$ ( $3,0$ điểm)

$1)$ Giải phương trình

$3^{1-x}-3^x+2=0$

$2)$ tính tích phân

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }(x+1)\cos x dx$ .

$3)$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y=\sqrt{x^2+3}-x \ln x$ trên đoạn

$[1;2]$

Câu $3$ ( $1,0$ điểm).
Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng

$(SAB)$ một góc

$30^0$ . Tính thể tích của khối chóp

$S.ABCD$ theo a.

II. PHẦN RIÊNG- PHẦN TỰ CHỌN ( $3,0$ điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần $1$ hoặc phần $2$ )
$1.$ Theo chương trình chuẩn
Câu

$4.a$ (

$2,0$ điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

$M(-1; 2; 1)$ và mặt phẳng

$(P)$ có phương trình

$x+2y+2z-3=0$

$1)$ Viết phương trình tham số của đường thẳng

$d$ đi qua

$M$ và vuông góc với

$(P)$ .

$2)$ Viết phương trình mặt cầu

$(S)$ có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với

$(P)$

Câu

$5.a$ (

$1,0$ điểm). Cho số phức z thỏa mãn

$(1+i)z-2-4i=0$ . Tìm số phức liên hợp của z.

$2.$ Theo chương trình nâng cao
Câu

$4.b$ (

$2,0$ điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

$A(-1; 1;0)$ và đường thẳng d có phương trình

$\frac{x-1}{1} =\frac{y}{-2} =\frac{z+1}{1}$

$1)$ Viết phương trình mặt phẳng

$(P)$ đi qua gốc tọa độ và vuông góc với

$d$ .

$2)$ Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho độ dài đoạn

$AM$ bằng

$\sqrt{6}$

Câu

$5.b$ (

$1,0$ điểm). Giải phương trình

$z^2-(2+3i)z+5+3i=0$ trên tập số phức

Đức Vỹ · Answer 1 · 6/4/2013 3:02:51 PM

Câu $1$ :

$1)$
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :

$y=x^3-3x-1$
Tập xác định là

$D=R$ .
Sự biến thiên :
+ Chiều biến thiên :

$y'=3x^2-3$

$y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-3=0\Leftrightarrow x=-1$ và

$x=1$
+ Bảng biến thiên

+ Đồng biến, nghịch biến
Hàm số đồng biến trên các khoảng

$(-\infty ;-1); (1; +\infty )$
Hàm số nghịch biến trên khoảng

$(-1; 1)$
+ Cực trị :

$X_{CĐ}=-1\rightarrow y_{CĐ}=y(-1)=1$

$X_{CT}=1\rightarrow y_{CT}=y(1)=-3$
+ Giới hạn :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } y=-\infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }y=+\infty$
+ Vẽ đồ thị

b. Viết phương trình tiếp tuyến của

$(C)$ biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

$9$
ta có :

$y'=3x^2-3$

$\rightarrow y'=9\Leftrightarrow 3x^2-3=9\Leftrightarrow 3x^2=12$
suy ra

$2$ cặp nghiệm:
Nếu

$x=2\rightarrow y=1$
Và

$x=-2\rightarrow y=-3$
Vậy phương trình tiếp tuyến của

$(C)$ :

$y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0$
Xảy ra

$2$ trường hợp :
+ Trường hợp

$1$ :

$y-1=9(x-2)\Leftrightarrow y=9x-17$
+ Trường hợp

$2$ :

$y+3=9(x+2)\Leftrightarrow y=9x+15$

Câu $2$

$1)$ Giải phương trình

$3^{1-x}-3^x+2=0$

$\Leftrightarrow \frac{3}{3^x}-3^x+2=0 (*)$
Đặt

$3^x=t (t>0)$

$\Leftrightarrow \frac{3}{t} -t+2=0$
Phương trình

$(*)\Leftrightarrow 3-t^2+2t=0$
Có nghiệm

$t=-1$ (loại) và

$t=3$ (thỏa mãn điều kiện)
+ Với

$t=3$ thì

$3^x=3$ nên

$\rightarrow x=1$

$2)$ Tính tích phân :

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }(x+1)\cos x dx$ .

$\left\{ \begin{array}{l} x+1\\ \cos xdx =dv\end{array} \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du=dx\\ v=\int\limits \cos xdx=\sin x \end{array} \right.$

$\rightarrow I=uv \left| \begin{gathered} b \\ a \\ \end{gathered} \right.-\int\limits_{a}^{b} vdu=(x+1)\sin x\left| \begin{gathered} \frac{\prod }{2} \\ 0 \\ \end{gathered} \right.-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin x dx$

$=(x+1)\sin x \left| \begin{gathered} \frac{\prod }{2} \\ 0 \\ \end{gathered} \right.+\cos \left| \begin{gathered} \frac{\prod }{2} \\ 0 \\ \end{gathered} \right.$

$=\frac{\pi}{2} +1-1=\frac{\pi}{2}$

$3)$ Tìm giá trị max, min của hàm số

$y=\sqrt{x^2+3} - x\ln x$ trên đoạn

$[1;2]$
Tập xác định :

$D=[1;2]$

$y'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3} } -\ln x -x\frac{1}{x} =\frac{x}{\sqrt{x^2+3} } -\ln x-1$

$y'=0\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2+3} } -\ln x-1=0$

$\Leftrightarrow x=(\ln x+1)\sqrt{x^2+3}$ (vô nghiệm)

$y(1)=\sqrt{1^2+3}-1\ln 1=2\rightarrow \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{{\text{[1;2]}}} y=y(1)=2$

$y(2)=\sqrt{2^2+3} -2\ln 2=\sqrt{7} -2\ln 2\rightarrow \mathop {min}\limits_{{\text{[1;2]}}}y=y(2)=\sqrt{7}-2\ln 2$

Câu 3: S đáy =

$a^2$
Xét tam giác

$SAD$ vuông tại A

$\tan 30^0 = \frac{AD}{SA} \Rightarrow SA= \frac{AD}{\tan 30^0}=\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{3} } } =a\sqrt{3}$
Suy ra chiều cao

$H= SA=a\sqrt{3}$
Vậy

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_đ.h=\frac{1}{3}a^2.a\sqrt{3} =\frac{a^3\sqrt{3} }{3}$ (đơn vị thể tích)

Phần riêng (Chuẩn)
Câu 4a:
1)

$m(-1;2;1)$

$P: x+2y+2z-3=0 n_p(1;2;2)$
d qua M và vuông góc với P

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \overline {{u_d}} (1;2;2) \\ \Leftrightarrow M( - 1;2;1) \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 + 2t \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered}$

2) S tâm O tiếp xúc với (P)

$P=d(O,P)=\frac{|0+2.0+2.0-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} } =\frac{3}{3}=1$
Vậy phương trình mặt cầu:

$(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=1 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=1$

Câu $5a$

$a.$

$(1+i).z-2-4i=0$

$\Leftrightarrow z=\frac{2+4i}{1+i} =\frac{(2+4i)(1-i)}{1-i^2}$

$=\frac{2-2i+4i-4i^2}{2}=\frac{6+2i}{2} =3+i$

$z=3+i$

$\Leftrightarrow \overline z=3-i$

Phần Nâng cao
Câu $4b$ : Ta có

$A (-1; 1;0)$

$d : \frac{x-1}{1} =\frac{y}{-2} =\frac{z+1}{1} ; \overrightarrow{u_d} (1; -2,1)$
Viết

$(P)$ qua

$O$ và vuông góc với

$d$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n_p}(1, -2,1) \\ O(0,0,0) \end{array} \right.$

$(P) : 1(x-0)-2.(y-0)+1(z-0)=0$

$\Leftrightarrow x-2y+z=0$

* Tìm

$M\in d; AM=\sqrt{6}$

$M\in d\rightarrow M(t+1, -2t, t-1)$

$A (-1, 1,0)$

$AM=\sqrt{6}$

$AM^2=6$

$\Leftrightarrow (t+t+1)^2+(-2t-1)^2+(t-1)^2=6$

$\Leftrightarrow (t+2)^2+(2t+1)^2+(t-1)^2=6$

$\Leftrightarrow 6t^2+6t=0\Leftrightarrow t=0$ và

$3t+3=0$

$\Leftrightarrow M(1,0,-1)$ và

$M(0,2,-2)$

Câu 5b:

$z^2-(2+3i)+5+3i=0$

$\Delta =(2+3i)^2-4.(5+3i)$

$=4-9+12i-20-12i$

$=25i^2$

$z_1=\frac{2+3i-5i}{2}=\frac{2-2i}{2}=1-i$

$z_2=\frac{2+3i+5i}{2}=\frac{2+8i}{2}=1+4i$

nếu chỉ nói pt đó vô nghiệm mà k giải thích thì có đc điểm k ạ?
Đáp án chỉ là tham khảo - gợi ý giải nhé bạn !
Cau 3 lam the kia la sao? y'=0 vo nghiem dau co nghia la ham nghich bien. Can phai chi ra no nho hon 0 nua >