|
|
|
|
giải đáp
|
Chứng minh số nguyên
|
|
|
|
Ta có: $2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2) \Rightarrow 2xy\in\mathbb{Z}$ $2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-(x^4+y^4) \Rightarrow 2x^2y^2\in\mathbb{Z}$ Giả sử: $2xy=k\in\mathbb{Z}$ Suy ra: $2x^2y^2=\dfrac{k^2}{2}\in\mathbb{Z} \Rightarrow k\,\vdots\,2 \Rightarrow xy=\dfrac{k}{2}\in\mathbb{Z}$. Từ đó suy ra: $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\in\mathbb{Z}$ |
|
|
|
giải đáp
|
lượng giác nè
|
|
|
|
BĐT cần chứng minh tương đương với: $\left|\dfrac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2}\right|\le\dfrac{1}{4} (*)$ Vì: $\left(\dfrac{x-y}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\right)^2+\left(\dfrac{1+xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\right)^2=1$ và $\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\right)^2+\left(\dfrac{1-xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\right)^2=1$. Đặt $\cos\alpha=\dfrac{x-y}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}};\sin\alpha=\dfrac{1+xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}$ $\cos\beta=\dfrac{x+y}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}};\sin\beta=\dfrac{1-xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}$ Khi đó: $(*) \Leftrightarrow |\cos\alpha\sin\beta\cos\beta\sin\alpha|\leq\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow |\dfrac{1}{4}\sin2\alpha\sin2\beta|\leq\dfrac{1}{4}$, luôn đúng. |
|
|
|
giải đáp
|
lượng giác nè
|
|
|
|
BĐT cần chứng minh tương đương với: $\left|\dfrac{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}}{xy}\right|\le1 (*)$ Vì: $\left(\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=1$ và $\left(\dfrac{\sqrt{y^2-1}}{y}\right)^2+\left(\dfrac{1}{y}\right)^2=1$. Đặt $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x};\sin\alpha=\dfrac{1}{x}$ $\cos\beta=\dfrac{\sqrt{y^2-1}}{y};\sin\beta=\dfrac{1}{y}$ Khi đó: $(*) \Leftrightarrow |\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha|\leq1 \Leftrightarrow |\sin(\alpha+\beta)|\leq1$, luôn đúng. |
|
|
|
giải đáp
|
toán
|
|
|
|
BĐT cần chứng minh tương đương với: $$-1\le\left(\dfrac{2a}{1+a^2}\right)^n+\left(\dfrac{1-a^2}{1+a^2}\right)^n\leq 1$$ Vì: $\left(\dfrac{2a}{1+a^2}\right)^2+\left(\dfrac{1-a^2}{1+a^2}\right)^2=1$, đặt $\dfrac{2a}{1+a^2}=\cos\alpha;\dfrac{1-a^2}{1+a^2}=\sin\alpha$. Ta cần chứng minh: $-1\leq \cos^n\alpha+\sin^n\alpha\leq1 \Leftrightarrow |\cos^n\alpha+\sin^n\alpha|\leq1$. Ta có: $|\cos^n\alpha+\sin^n\alpha|\leq|\cos^n\alpha|+|\sin^n\alpha|=|\cos\alpha|^n+|\sin\alpha|^n$ Mà: $|\cos\alpha|^n\leq|\cos\alpha|^2;|\sin\alpha|^n\leq|\sin\alpha|^2$ Suy ra: $|\cos\alpha|^n+|\sin\alpha|^n\leq |\cos\alpha|^2+|\sin\alpha|^2=1$, đpcm. |
|
|
|
giải đáp
|
Hệ pt
|
|
|
|
Nhận xét: $x,y>0$. Hệ đã cho tương đương với: $\left\{\begin{array}{l}1-\dfrac{12}{y+3x}=\dfrac{2}{\sqrt x}\\1+\dfrac{12}{y+3x}=\dfrac{6}{\sqrt y}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}1=\dfrac{1}{\sqrt x}+\dfrac{3}{\sqrt y}\\\dfrac{12}{y+3x}=\dfrac{3}{\sqrt y}-\dfrac{1}{\sqrt x}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}1=\dfrac{1}{\sqrt x}+\dfrac{3}{\sqrt y}\\\dfrac{12}{y+3x}=(\dfrac{3}{\sqrt y}-\dfrac{1}{\sqrt x})(\dfrac{1}{\sqrt x}+\dfrac{3}{\sqrt y})\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}1=\dfrac{1}{\sqrt x}+\dfrac{3}{\sqrt y}\\\dfrac{12}{y+3x}=\dfrac{9}{y}-\dfrac{1}{x}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}1=\dfrac{1}{\sqrt x}+\dfrac{3}{\sqrt y}\\27x^2-6xy-y^2=0\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}1=\dfrac{1}{\sqrt x}+\dfrac{3}{\sqrt y}\\(9x+y)(3x-y)=0\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}1=\dfrac{1}{\sqrt x}+\dfrac{3}{\sqrt y}\\y=3x\end{array}\right.$ (vì $9x+y>0$) $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2(2+\sqrt3)\\y=6(2+\sqrt3)\end{array}\right.$ |
|
|
|
giải đáp
|
ứng dụng max min chứng minh BĐT
|
|
|
|
Xét hàm: $f(x)=x^4+px+q$. Ta có: $f'(x)=4x^3+p$ $f'(x)=0 \Leftrightarrow 4x^3+p=0 \Leftrightarrow x=-\sqrt[3]{\dfrac{p}{4}}$. Lập bảng biến thiên ta được: $\min_{x\in\mathbb{R}} f(x)=f\left(-\sqrt[3]{\dfrac{p}{4}}\right)=q-\dfrac{3p}{4}\sqrt[3]{\dfrac{p}{4}}$. Vậy $x^4+px+q\geq0,\forall x\in\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \min_{x\in\mathbb{R}} f(x)\geq0 \Leftrightarrow q\geq\dfrac{3p}{4}\sqrt[3]{\dfrac{p}{4}} \Leftrightarrow 256q^3\geq 27p^4$. |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải pt
|
|
|
|
ĐK: $0<x<1$ Phương trình đã cho tương đương với: $(1+x^2)\sqrt{1-x} = (2x+{x^2})\sqrt x$ $\Leftrightarrow x^2(\sqrt{1-x}-\sqrt x)+(\sqrt{1-x}-2x\sqrt x)=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{x^2(1-2x)}{\sqrt{1+x}+\sqrt x}+\dfrac{1-x-4x^3}{\sqrt{1-x}+2x\sqrt x}=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{x^2(1-2x)}{\sqrt{1+x}+\sqrt x}+\dfrac{(1-2x)(2x^2+x-1)}{\sqrt{1-x}+2x\sqrt x}=0$ $\Leftrightarrow (1-2x)\left[\dfrac{x^2}{\sqrt{1+x}+\sqrt x}+\dfrac{2x^2+x-1}{\sqrt{1-x}+2x\sqrt x} \right]=0 (1)$ Vì $\dfrac{x^2}{\sqrt{1+x}+\sqrt x}+\dfrac{2x^2+x-1}{\sqrt{1-x}+2x\sqrt x}>0$ Nên: $(1) \Leftrightarrow 1-2x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{1}{2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Giải pt
|
|
|
|
Đặt $2x = a$, $\dfrac{8x^{3}+2001}{2002}=b$. Khi đó ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} b^{3}=2002a-2001\\a^{3}=2002b-2001 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}+2002)=0\\a^{3}=2002b-2001\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=b\\a^{3}=2002b-2001\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a=b=1\\ a=b=\dfrac{-1+\sqrt{8005}}{2}\\ a=b=\dfrac{-1-\sqrt{8005}}{2}\end{array}\right.$ Từ đó suy ra: $x\in\{\dfrac{1}{2};\dfrac{-1+\sqrt{8005}}{4};\dfrac{-1-\sqrt{8005}}{4}\}$. |
|
|
|
giải đáp
|
Giải pt
|
|
|
|
ĐK: $x\geq \dfrac{-1}{8000}$ Đặt $\sqrt{1+8000x}=2y-1$, với $y\geq \dfrac{1}{2}$ Từ hệ ta có: $x^2-x=1000+1000(2y-1)$ $\Leftrightarrow x^2-x=2000y (1)$ Mặt khác: $\sqrt{1+8000x}=2y-1$ $\Leftrightarrow 4y^2-4y+1=1+8000x$ $\Leftrightarrow y^2-y=2000x (2)$ Từ $(1),(2)$ ta có hệ mới: $\begin{cases}x^2-x=2000y\\y^2-y=2000x \end{cases}$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2-x=2000y\\x^2-x-y^2+y=2000y-2000x\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2-x=2000y\\(x-y)(x+y+1999)=0\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2-x=2000y\\x=y\end{array}\right.$, vì $x+y+1999>0$ $\Leftrightarrow x=y=2001$, vì $y\geq \dfrac{1}{2}$. |
|
|
|
giải đáp
|
Giải pt
|
|
|
|
Bạn có thể xem và nghiên cứu các lời giải tại đây: |
|
|
|
giải đáp
|
GTLN
|
|
|
|
Vì $m$ là số bé nhất trong 6 số $x,\dfrac{y}{z},\dfrac{z}{t},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{x},t$ nên ta có: $m^6\leq x.\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{t}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{x}.t=1$ $\Rightarrow m\leq 1$. Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $x=y=z=t=1$. Vậy $\max m=1$ |
|
|
|
sửa đổi
|
Giải tích mặt phẳng.
|
|
|
|
Giả sử tọa độ $A$ có dạng $A(2a;4-3a)$.Gọi $M$ là trung điểm $BC$.Vì $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM} \Leftrightarrow (-1-2a;3a-1)=2(x_M+1;y_M-3) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_M=\dfrac{-2a-3}{2}\\y_M=\dfrac{3a+5}{2}\end{array}\right.$Đường thẳng $BC$ đi qua $M$ và vuông góc với $h_a$ có phương trình: $2x-3y+\dfrac{13a+21}{2}=0$Tọa độ $B$ là giao của $BC$ và $h_a$ là: $B(\dfrac{13a-27}{8};\dfrac{13a+5}{4})$ $4x-6y+13a+21=0$Đường thẳng $AC$ đi qua $A$ và vuông góc với $h_b$ có phương trình: $x+2y+4a-8=0$ $3x+6y+12a-24=0$Tọa độ $C$ là giao của $BC$ và $AC$ là: $C(\dfrac{-25a+3}{7};\dfrac{-3a+53}{14})$Mà $G(-1;3)$ là trọng tâm tam giác nên ta có:$\left\{\begin{array}{l}2a+\dfrac{13a-27}{8}+\dfrac{-25a+3}{7}=-3\\4-3a+\dfrac{13a+5}{4}+\dfrac{-3a+53}{14}=9\end{array}\right.\Leftrightarrow a=-1$.Từ đó ta có: $A(-2;7);B(-5;-2);C(4;4)$.
Giả sử tọa độ $A$ có dạng $A(2a;4-3a)$.Gọi $M$ là trung điểm $BC$.Vì $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM} \Leftrightarrow (-1-2a;3a-1)=2(x_M+1;y_M-3) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_M=\dfrac{-2a-3}{2}\\y_M=\dfrac{3a+5}{2}\end{array}\right.$Đường thẳng $BC$ đi qua $M$ và vuông góc với $h_a$ có phương trình: $2x-3y+\dfrac{13a+21}{2}=0$Tọa độ $B$ là giao của $BC$ và $h_a$ là: $B(\dfrac{13a-27}{8};\dfrac{13a+5}{4})$Đường thẳng $AC$ đi qua $A$ và vuông góc với $h_b$ có phương trình: $x+2y+4a-8=0$Tọa độ $C$ là giao của $BC$ và $AC$ là: $C(\dfrac{-25a+3}{7};\dfrac{-3a+53}{14})$Mà $G(-1;3)$ là trọng tâm tam giác nên ta có:$\left\{\begin{array}{l}2a+\dfrac{13a-27}{8}+\dfrac{-25a+3}{7}=-3\\4-3a+\dfrac{13a+5}{4}+\dfrac{-3a+53}{14}=9\end{array}\right.\Leftrightarrow a=-1$.Từ đó ta có: $A(-2;7);B(-5;-2);C(4;4)$.
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải tích mặt phẳng.
|
|
|
|
Giả sử tọa độ $A$ có dạng $A(2a;4-3a)$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM} \Leftrightarrow (-1-2a;3a-1)=2(x_M+1;y_M-3) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_M=\dfrac{-2a-3}{2}\\y_M=\dfrac{3a+5}{2}\end{array}\right.$ Đường thẳng $BC$ đi qua $M$ và vuông góc với $h_a$ có phương trình: $2x-3y+\dfrac{13a+21}{2}=0$ Tọa độ $B$ là giao của $BC$ và $h_a$ là: $B(\dfrac{13a-27}{8};\dfrac{13a+5}{4})$ Đường thẳng $AC$ đi qua $A$ và vuông góc với $h_b$ có phương trình: $x+2y+4a-8=0$ Tọa độ $C$ là giao của $BC$ và $AC$ là: $C(\dfrac{-25a+3}{7};\dfrac{-3a+53}{14})$ Mà $G(-1;3)$ là trọng tâm tam giác nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}2a+\dfrac{13a-27}{8}+\dfrac{-25a+3}{7}=-3\\4-3a+\dfrac{13a+5}{4}+\dfrac{-3a+53}{14}=9\end{array}\right.\Leftrightarrow a=-1$. Từ đó ta có: $A(-2;7);B(-5;-2);C(4;4)$. |
|