toán

Question

Cho

$n\geq2 ; \forall a$

$-(1+a^2)^n \leq (2a)^n + (1-a^2)^n \leq (1+a^2)^n$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 8/5/2013 10:57:22 PM

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$-1\le\left(\dfrac{2a}{1+a^2}\right)^n+\left(\dfrac{1-a^2}{1+a^2}\right)^n\leq 1$

Vì:

$\left(\dfrac{2a}{1+a^2}\right)^2+\left(\dfrac{1-a^2}{1+a^2}\right)^2=1$ , đặt

$\dfrac{2a}{1+a^2}=\cos\alpha;\dfrac{1-a^2}{1+a^2}=\sin\alpha$ .

Ta cần chứng minh:

$-1\leq \cos^n\alpha+\sin^n\alpha\leq1 \Leftrightarrow |\cos^n\alpha+\sin^n\alpha|\leq1$ .

Ta có:

$|\cos^n\alpha+\sin^n\alpha|\leq|\cos^n\alpha|+|\sin^n\alpha|=|\cos\alpha|^n+|\sin\alpha|^n$

Mà:

Suy ra:

1 Đáp án