BĐT cần chứng minh tương đương với:
$$-1\le\left(\dfrac{2a}{1+a^2}\right)^n+\left(\dfrac{1-a^2}{1+a^2}\right)^n\leq 1$$
Vì: $\left(\dfrac{2a}{1+a^2}\right)^2+\left(\dfrac{1-a^2}{1+a^2}\right)^2=1$, đặt $\dfrac{2a}{1+a^2}=\cos\alpha;\dfrac{1-a^2}{1+a^2}=\sin\alpha$.
Ta cần chứng minh: $-1\leq \cos^n\alpha+\sin^n\alpha\leq1 \Leftrightarrow |\cos^n\alpha+\sin^n\alpha|\leq1$.
Ta có: $|\cos^n\alpha+\sin^n\alpha|\leq|\cos^n\alpha|+|\sin^n\alpha|=|\cos\alpha|^n+|\sin\alpha|^n$
Mà: $|\cos\alpha|^n\leq|\cos\alpha|^2;|\sin\alpha|^n\leq|\sin\alpha|^2$
Suy ra: $|\cos\alpha|^n+|\sin\alpha|^n\leq |\cos\alpha|^2+|\sin\alpha|^2=1$, đpcm.