|
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 24/10/2013
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Chứng minh bất đẳng thức(3).
|
|
|
|
BĐT cần chứng minh tương đương với: $\ln(1+\dfrac{y}{x})>\dfrac{2\dfrac{y}{x}}{2+\dfrac{y}{x}}$ Xét hàm số $f(t)=\ln (1+t)-\dfrac{2t}{t+2}, t\in [0;+\infty)$. Ta có $f'(t)=\dfrac{1}{1+t}-\dfrac{4}{(t+2)^2}=\dfrac{t^2}{(t+1)(t+2)^2}>0, \forall t\in [0;+\infty)$ Do đó $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$. SUy ra: $f(t)>f(0)=0, \forall t>0$. Từ đó suy ra: $f(\dfrac{y}{x})>0 \Leftrightarrow \ln(1+\dfrac{y}{x})>\dfrac{2\dfrac{y}{x}}{2+\dfrac{y}{x}}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Chứng minh bất đẳng thức(2).
|
|
|
|
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $(b^2+1)\ln a<(a^2+1)\ln b\Leftrightarrow \dfrac{\ln a}{a^2+1}< \dfrac{\ln b}{b^2+1}$ Xét hàm số $f(t)=\dfrac{\ln t}{t^2+1}, t\in (0;1)$. Ta có $f'(t)=\dfrac{\dfrac{1}{t}(t^2+1)-2t\ln t}{(t^2+1)^2}=\dfrac{t^2(2-\ln t)+1}{t(t^2+1)^2}>0, \forall t\in (0;1).$ Do đó $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;1).$ Mà $0<a<b<1$, nên $f(a)<f(b) \Leftrightarrow \dfrac{\ln a}{a^2+1}<\dfrac{\ln b}{b^2+1}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Chứng minh bất đẳng thức(1).
|
|
|
|
Xét hàm số: $f(x)=\ln(x+1)-x+\dfrac{x^2}{2}, x\in[0;+\infty)$ Ta có: $f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-1+x=\dfrac{x^2}{x+1}>0, \forall x>0$ Nên $f$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$. Ta có: $f(x)>f(0)=0, \forall x>0$. |
|
|
|
giải đáp
|
Chứng minh bất đẳng thức.
|
|
|
|
Xét hàm số: $f(x)=\sqrt{x-1}-\ln x, x\in[1;+\infty).$ Ta có: $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-2\sqrt{x-1}}{2x\sqrt{x-1}}=\dfrac{(\sqrt{x-1}-1)^2}{2x\sqrt{x-1}}>0, \forall x>1$ Nên $f$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$. Ta có: $f(x)>f(1)=0, \forall x>1$. |
|
|
|
giải đáp
|
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số(3).
|
|
|
|
Điều kiện: $x-1>0 \Leftrightarrow x>1$. Ta có: $y=\ln(x^2-3x+3)-\ln(x-1)$ $\Rightarrow y'=\dfrac{2x-3}{x^2-3x+3}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)(x^2-3x+3)}$ $y'=0 \Leftrightarrow x^2-2x=0 \Leftrightarrow x=2$, vì $x>1$ Lập bảng biến thiên ta thấy: $y$ nghịch biến trên khoảng $(\dfrac{3}{2};2)$ $y$ đồng biến trên khoảng $(2;3)$ Ta có: $y(\dfrac{3}{2})=\ln\dfrac{3}{2};y(2)=0;y(3)=\ln\dfrac{3}{2}$ nên: $\min_{x\in[\frac{3}{2};3]}y=y(2)=0;\max_{x\in[\frac{3}{2};3]}y=y(\dfrac{3}{2})=y(3)=\ln\dfrac{3}{2}$. |
|
|
|
giải đáp
|
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số(2).
|
|
|
|
Điều kiện: $x>0$. Ta có: $y'=\ln^3x+3x.\dfrac{1}{x}\ln^2x=\ln^2x(\ln x+3)$ $\Rightarrow y'>0, \forall x\in[2;e^2]$
Ta có: $y(2)=2\ln^32;y(e^2)=8e^2$ nên: $\min_{x\in[2;e^2]}y=y(2)=2\ln^32;\max_{x\in[2;e^2]}y=y(e^2)=8e^2$. |
|
|
|
giải đáp
|
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số(1).
|
|
|
|
Điều kiện: $x+1>0 \Leftrightarrow x>-1$. Ta có: $y=\ln(x^2+1)-\ln(x+1)$ $\Rightarrow y'=\dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)(x^2+1)}$ $y'=0 \Leftrightarrow x^2+2x-1=0 \Leftrightarrow x=-1\pm\sqrt2$ Lập bảng biến thiên ta thấy: $y$ nghịch biến trên khoảng $(0;-1+\sqrt2)$ $y$ đồng biến trên khoảng $(-1+\sqrt2;1)$ Ta có: $y(0)=0;y(-1+\sqrt2)=\ln(2\sqrt2-2);y(1)=0$ nên: $\min_{x\in[0;1]}y=y(-1+\sqrt2)=\ln(2\sqrt2-2);\max_{x\in[0;1]}y=y(0)=y(1)=0$. |
|
|
|
giải đáp
|
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
|
|
|
|
TXĐ: $x>0$. Ta có: $y'=x.\dfrac{1}{x}+\ln x-2=\ln x-1$ $y'=0 \Leftrightarrow \ln x-1=0 \Leftrightarrow x=e$ Lập bảng biến thiên ta thấy: $y$ nghịch biến trên khoảng $(0;e)$ $y$ đồng biến trên khoảng $(e;e^2)$ Ta có: $\mathop {\lim}\limits_{x\to 0^+}y=0; y(e)=-e;y(e^2)=0$ nên: $\min_{x\in[-1;e^2]}y=y(e)=-e;\max_{x\in[-1;e^2]}y=y(e^2)=0$. |
|
|
|
giải đáp
|
Đơn điệu(tt).
|
|
|
|
TXĐ: $\mathbb{R}$. Ta có: $y'=2-\dfrac{5}{2}.\dfrac{2x}{1+x^2}=2-\dfrac{5x}{1+x^2}=\dfrac{2x^2-5x+2}{1+x^2}$ $y'=0 \Leftrightarrow \dfrac{2x^2-5x+2}{1+x^2}=0 \Leftrightarrow 2x^2-5x+2=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2}\\x=2\end{array}\right.$. Lập bảng biến thiên ta được: $y$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;\dfrac{1}{2})$ và $(2;+\infty)$ $y$ nghịch biến trên khoảng $(\dfrac{1}{2};2)$ |
|
|
|
giải đáp
|
Đơn điệu.
|
|
|
|
Điều kiện: $-x^4-3x^2+4\ge0 \Leftrightarrow x^2-1\le0 \Leftrightarrow -1\le x\le 1$. Ta có: $y'=\dfrac{-4x^3-6x}{-x^4-3x^2+4}$ $y'=0 \Leftrightarrow -4x^3-6x=0 \Leftrightarrow 2x(2x^2+3)=0 \Leftrightarrow x=0$. Lập bảng biến thiên ta được: $y$ đồng biến trên khoảng $(-1;0)$ $y$ nghịch biến trên khoảng $(0;1)$ |
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 23/10/2013
|
|
|
|
|
|
|
|