BĐT cần chứng minh tương đương với: $\ln(1+\dfrac{y}{x})>\dfrac{2\dfrac{y}{x}}{2+\dfrac{y}{x}}$
Xét hàm số $f(t)=\ln (1+t)-\dfrac{2t}{t+2}, t\in [0;+\infty)$.
Ta có $f'(t)=\dfrac{1}{1+t}-\dfrac{4}{(t+2)^2}=\dfrac{t^2}{(t+1)(t+2)^2}>0, \forall t\in [0;+\infty)$
Do đó $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$.
SUy ra: $f(t)>f(0)=0, \forall t>0$.
Từ đó suy ra: $f(\dfrac{y}{x})>0 \Leftrightarrow \ln(1+\dfrac{y}{x})>\dfrac{2\dfrac{y}{x}}{2+\dfrac{y}{x}}$