Xét hàm số: $f(x)=\sqrt{x-1}-\ln x, x\in[1;+\infty).$
Ta có:
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-2\sqrt{x-1}}{2x\sqrt{x-1}}=\dfrac{(\sqrt{x-1}-1)^2}{2x\sqrt{x-1}}>0, \forall x>1$
Nên $f$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$.
Ta có: $f(x)>f(1)=0, \forall x>1$.