|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
BĐT Schur có dạng: $a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0 (a,b,c \geq 0)$ Ta chứng minh BĐT bằng cách đặt ẩn phụ
Do vai trò của a,b,c như nhau nên ta giả sử luôn $a \geq b \geq c$ Đặt $x=a-b \geq 0 và y=b-c \geq 0$
Ta có $a(a-b)(a-c)=(c+x+y).x.(x+y)=(c+x+y)x.(x+y)$ $b(b-c)(b-a)=(c+y).y.(-x)=-(c+y).xy$ $c(c-a)(c-b)=c.-(x+y).-(y)=c(x+y).y$
BĐT được viết lại thành $(c+x+y).x.(x+y)-(c+y).xy+c(x+y).y \geq 0$ Phá ngoặc tràn lan rồi gộp lại thành nhóm, ta có $c(x^2+xy+y^2)+x^2(x+2y) \geq 0$ : điều này luôn đúng vì x,y,c đều không âm
$\Rightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b) \geq 0$
Tiếp tục phá hết ngoặc ra thì ta có $a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a) \geq 0$ (cái này chính là cái bạn hỏi nè )
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:2abc+1=abc+abc+1≥3a2b2c2−−−−−√3≥9abca+b+c Do đó, ta chỉ cần chứng minh:a2+b2+c2+9abca+b+c≥2(ab+bc+ca) Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:a3+b3+c3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh.
|
|
|
giải đáp
|
LGiác
|
|
|
Ta có : $A = sin6.cos(90-42).cos(90-66).cos(90-78)$ $= sin6.cos12.cos24.cos48$ Mà $16cos6.A = 16sin6.cos6.cos12.cos24.cos48$ $= 8sin12.cos12.cos24.cos48$ $= 4sin24.cos24.cos48$ $= 2sin48.cos48 = sin96 = cos(90 - 96) = cos(-6) = cos6$
$\Rightarrow 16cosA=1 \Rightarrow A=\frac1{16}$
|
|
|
giải đáp
|
giải giúp nhé m.n
|
|
|
Gọi số cần tìm là $abcde$ Với $a=e$ có 6 cách chọn (khác 0) Khi đó $b \neq a$ có 6 cách chọn c có 5 cách chọn d có 4 cách chọn Áp dụng cấp số nhân ta có $6.6.5.4=720$ (cách)
Không biết đúng hay sai nữa Nhưng nếu đúng bạn vui lòng nhấn V để chấp nhận nha :)
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Giải hệ
|
|
|
$\left\{ \begin{array}{l} 14x^2-21y^2+22x-39y=0\\ 35x^2+28y^2+111x-10y=0 \end{array} \right.$
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Giải PT
|
|
|
$-x^2+4x+4=|x-1|+|x+2|+|2x-3|+|4x-14|$
|
|
|
giải đáp
|
giải cho e bài này với
|
|
|
Cách khácBĐT $\Leftrightarrow \frac{\tan b}{b}>\frac{\tan a}{a}\Leftrightarrow f(b) >f(a)$, trong đó $f(x)=\frac{\tan x}{x}, \quad x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$. Ta có : $f'(x) = \frac{\dfrac{x}{\cos^2x}-\tan x}{x^2}=\frac{x-\sin x \cos x}{x^2\cos^2 x}=\frac{2x-\sin 2x}{2x^2\cos^2 x}$. Mặt khác ta cũng sẽ chứng minh $g(x) =2x-\sin 2x>0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$. Thật vậy, $g'(x)=2-2\cos 2x >0 , \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow g(x)$ là hàm đồng biến $\Rightarrow g(x)>g(0)=0$. Suy ra $f'(x)>0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow f(x)$ là hàm đồng biến $\Rightarrow f(b) >f(a)$.
|
|
|
giải đáp
|
giải cho e bài này với
|
|
|
Có $\frac{tana}{tanb} < \frac{a}b (0<a<b<\frac{\pi}2)$
$\Leftrightarrow \frac{tana}{a}<\frac{tanb}b$
Xét hàm $f(x) = \dfrac{\tan x }{x}, \ x \in \left(0,\ \dfrac{\pi}{2}\right)$
$f'(x) = \dfrac{x - \sin x \cos x}{x^2 \cos^2 x}$
Xét $g(x) = x - \sin x \cos x,\ g'(x) = 1 - \cos 2x \ge 0$
Vậy $g(x)$ đồng biến $g(x) > g(0) = 0 \Rightarrow f'(x) > 0$ hay hàm $f(x)$ đồng biến
Suy ra dpcm
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình vô tỉ (5)
|
|
|
$ĐK : 3-2x \geq 0 \Leftrightarrow x\leq \frac{3}2$
$PT \Leftrightarrow 20-\sqrt{3-2x}=3-2x$
$\Leftrightarrow (3-2x)+\sqrt{3-2x}-20=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{3-2x}=-5 (loại)$
or $\sqrt{3-2x}=4$
$\Leftrightarrow 3-2x=16$
$\Leftrightarrow x=-\frac{13}2 (nhận)$
$\Rightarrow S=${ $-\frac{13}2$ }
|
|
|
giải đáp
|
HPT khó
|
|
|
$\left\{ \begin{array}{l} x^2+2xy-2x-y=0(1)\\ x^4+y^2+2xy=4(x+y-1)^2.x^2(2) \end{array} \right.$
$(1) \Leftrightarrow x^2-2x(y-1)^2-y=0$ Xét $\triangle (y-1)^2+4y=(y+1)^2$ $\Rightarrow x=\frac{y-1\pm \sqrt{\triangle} }2=\frac{y-1\pm(y+1)}2$
$\Rightarrow x=y or x=-1$
$* TH: x=-1$ Thế vào $(2) \Rightarrow 1+y^2-2y=4(y-2)^2$ $* TH: x=y$ Thế vào $(2) \Rightarrow x^4+3x^2=4(2x-1)^2.x^2$
Hai PT cuối đơn giản nên bạn tự giải nha
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình vô tỉ (3)
|
|
|
$ĐK: 3x-2 >0 \Rightarrow x > \frac{2}3$ $PT \Leftrightarrow x^2-(\sqrt{3x-2})^2=(1-x).\sqrt{3x-2}$ $\Leftrightarrow x^2-3x+2=(1-x).\sqrt{3x-2}$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)=(1-x).\sqrt{3x-2}$
$\Leftrightarrow(x-1)(x-2+\sqrt{3x-2})=0$ $\Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1$
or $2-x=\sqrt{3x-2} (ĐK: x\leq 2)$
Bình phương hai vế, ta có $x^2-4x+4=3x-2$ $\Leftrightarrow x^2-7x+6=0$
$\Leftrightarrow x=1(nhận)$
or $x=6 (loại)$
$\Rightarrow S={1}$
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Giải PT(4)
|
|
|
$x^4+2006x^3+1006009x^2+x-\sqrt{2x+2007}+1004=0$
|
|
|