BĐT Schur có dạng: $a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0 (a,b,c \geq 0)$
Ta chứng minh BĐT bằng cách đặt ẩn phụ
Do vai trò của a,b,c như nhau nên ta giả sử luôn $a \geq b \geq c$
Đặt $x=a-b \geq 0 và y=b-c \geq 0$
Ta có
$a(a-b)(a-c)=(c+x+y).x.(x+y)=(c+x+y)x.(x+y)$
$b(b-c)(b-a)=(c+y).y.(-x)=-(c+y).xy$
$c(c-a)(c-b)=c.-(x+y).-(y)=c(x+y).y$
BĐT được viết lại thành
$(c+x+y).x.(x+y)-(c+y).xy+c(x+y).y \geq 0$
Phá ngoặc tràn lan rồi gộp lại thành nhóm, ta có
$c(x^2+xy+y^2)+x^2(x+2y) \geq 0$ : điều này luôn đúng vì x,y,c đều không âm
$\Rightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b) \geq 0$
Tiếp tục phá hết ngoặc ra thì ta có
$a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a) \geq 0$ (cái này chính là cái bạn hỏi nè )